1. На рисунке четырехугольник ABCD - ромб. Найдите угол В. C
B
D
63°
А
А) 45-
В) 54°
C) 719-
D) 90°.
E) 126°.​

Пусть abc - произвольный треугольник. проведем через вершину b прямую, параллельную прямой ac. отметим на ней точку d так, чтобы точки a и d лежали по разные стороны от прямой bc.углы dbc и acb равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей bc с параллельными прямыми ac и bd. поэтому сумма углов треугольника при вершинах b и с равна углу abd.сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов abd и bac. так как эти углы внутренние односторонние для параллельных ac и bd при секущей ab, то их сумма равна 180°. что и требовалось доказать.

Вычислим высоту трапеции. 

Для этого проведём отрезок СМ║AD. 

В четырехугольнике АМСD противоположные стороны параллельны, следовательно, ADCM- параллелограмм.

 СМ=AD=3, AM=CD=18

В ∆ МСВ стороны СМ=3, СВ=6√2, МВ=АВ - СD=9

Опустим высоту СН. Пусть МН=х, тогда ВН=9-х

Выразим по т.Пифагора из ∆ СНМ квадрат высоты СН

СН²=СМ²-МН²=9-х²

Выразим по т.Пифагора из ∆ СНВ квадрат высоты СН

СН²=СВ²-ВН²=72-81+18х-х²

Приравняем найденные значения СН²

9-х²=72-81+18х-х² откуда 18=18х,⇒ х=1

СН=√(9-1)=√8

Высота ∆ ADC=CH=√8=2√2

S ADC =2√2•18:2=9√8=18√2

По равным накрестлежащим и вертикальным углам ∆CDK~∆ACB  с  k=18/27=2/3

Высота ∆ ADK и ∆CDK, проведённая из общей вершины D, одна и та же. Площади треугольников с равными высотами относятся как их основания. 

Тогда АК:КС=3:2. Т.е. SADK=3/5 S ∆ ADC

S ∆ ADK=3•(18√2):5•3=10,8√2 ед площади