Сторона АВ треугольника ABC равна 9 см. Сторона ВС разделена на 3 равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные
стороне AB. Найдите длины отрезков этих прямых, содержащихся между
сторонами треугольника.​

   Треугольник АВС - равнобедренный прямоугольный с прямым углом С и гипотенузой 6 см. Отрезок СК перпендикулярен к плоскости треугольника. Расстояние от К до прямой АВ равно 5 см. Найдите  длину отрезка СК.

ответ: 4 см

Объяснение:  

  Расстояние до АМ от К  измеряется длиной проведенного перпендикулярно к ней отрезка КН.    КН⊥АВ ⇒ по т. о трех перпендикулярах  СН⊥АВ, а т.к. треугольник АВС - равнобедренный прямоугольный. то СН его высота и медиана, и по свойству медианы прямоугольного треугольника равна СН=АВ:2=6:2=3.

   По свойству прямой, перпендикулярной плоскости, отрезок СК  перпендикулярен всем прямым, лежащим в ней. ⇒ КС⊥СН Из прямоугольного ∆ КСН по т.Пифагора КС=√(KH²-CH²)=√(25-9)=4 (см).

Так как отрезки, соединяющие центр вписанной окружности с вершинами трапеции, являются биссектрисами углов трапеции, то угол между ними равен  180-(180 / 2) = 90°.
Расстояние от центра вписанной окружности до верхнего и нижнего оснований равны - это радиус.  Угол α - между отрезком 15 и вертикальной осью трапеции.
Тогда 15*cos α = 20*cos (90-α) = 20*sin α = 20*√(1-cos²α).
Возведём в квадрат:
225cos²α = 400 - 400cos²α
625cos²α = 400. Извлечём корень:
25cos α = 20
cos α = 20 / 25 = 4 / 5     sin α = √(1 - (4/5)²) = √(1-(16/25) =√(9/25) = 3/5.
Верхнее основание равно 2*(15*sin α) = 2*15*(3/5) = 18.
Нижнее основание равно 2*(20*sin(90-α)) = 40*cos α = 40*4/5 = 32.
S = ((18+32)/2)*(2*12) = 25*24 = 600.