Стороны треугольника АВС равны АС=13 ; АВ=12 ; СВ=5 Из центра треугольника к его плоскости восстановлен перпендикуляр ОК
OK=4. Найти расстояние от точки К до стороны СВ

Проведем высоты ВН и ВР из вершины В параллелограмма.
В четырехугольнике НВРD угол D равен 360°-90°-90°-30°=150°.
В параллелограмме противоположные углы равны, значит <A=<C=30°.
(так как в параллелограмме углы, прилежащие к одной стороне, в сумме равны 180°).  Против углов 30° в прямоугольном треугольнике лежат катеты, равные половине гипотенузы. Из треугольника АВН имеем АВ=8см, из треугольника ВРС имеем ВС=16см.
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой эта высота проведена. Тогда на выбор
(поскольку в параллелограмме АВ=СD и ВС=АD):
S=BH*AD или S=4*16=64см²  или
S=BP*DC или S=8*8=64см²
ответ S=64 см²

Правильное условие:

В треугольнике ABC AB=√21, BC=3√21. Биссектриса внешнего угла треугольника при вершине B пересекает прямую AC в точке P, угол APB равен 30°. Найдите BP.

Внешний угол треугольника равен сумме двух других не смежных с ним.

Пусть ∠CAB = y;  ∠BCA = x.

Тогда внешний угол при вершине B равен x+y.

Биссектриса делит угол пополам, поэтому ∠ABP =

По свойству внешнего угла из ΔAPB имеем:

∠CAB = ∠APB+∠ABP;

y = 30°+

2y = 60°+x+y;

y = 60°+x = ∠CAB.

В ΔABC, по теореме синусов, получим равенство:

3√(21)·sin(x) = √(21)·sin(60°+x);

3sin(x) = sin(60°)·cos(x)+cos(60°)·sin(x);

3sin(x) = ·cos(x)+ ·sin(x);

6sin(x)-sin(x) = 5sin(x) = √(3)·cos(x);

Если cos x = 0, то sin x = 0, но синус и косинус не могут одновременно равняться нулю, тогда поделим на cos x ≠ 0;

tg(x) = .

Найдём sin(x):

По основному тригонометрическому тождеству:

sin(x) = +√(3/28) т.к. 0 < x < 180°, как угол треугольника.

По теореме синусов в ΔCPB:

ответ: 9.