Дан куб АВСDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми:
А) АВ и ВС
В) АВ и А1Д1
В) ВС и D1B1
​

А1. ответ: 4.

А2. ответ: 4.

А3. ответ: 3.

А4. ответ: 1.

В1. Дано: ΔАВС, АВ = ВС = АС + 5 см, Р = 34 см.

Найти: АВ.

Решение: Пусть АС = х см, тогда АВ = ВС = х + 5,

x + (x + 5) + (x + 5) = 34

3x + 10 = 34

3x = 24

x = 8

АС = 8 см

АВ = ВС = 8 + 5 = 13 см

ответ: боковая сторона 13 см.

В2. Дано: ΔАВС, АВ = АС, АМ - медиана, Pabc = 40 см, Pabm = 33 см.

Найти: АМ.

Pabm = 33 см

АВ + ВМ + АМ = 33

2 · (АВ + ВМ + АМ) = 66

Так как АВ = АС, а ВМ = СМ, то

2АВ + 2ВМ + 2АМ = 66

АВ + АС + ВС + 2АМ = 66

2АМ = 66 - (АВ + АС + ВС) = 66 - Pabc = 66 - 40 = 16

AM = 16/2= 8 см

С1. 1) Если сумма равных сторон равна 26 см, то боковые стороны равны по 13 см, а основание - 10 см.

2) Обозначим боковые стороны а и b, основание - с.

а + с = 26 см

Рabc = 2а + с = 36 см

с = 36 - 2а

с = 26 - а

26 - a = 36 - 2a

a = 10 см

c = 16 см

ответ: 13 см, 13 см, 10 см или 10 см, 10 см, 16 см.

Определение: Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.    
Линейный угол двугранного угла - это угол, образованный  двумя лучами, которые имеют общее начало, лежащее на  ребре двугранного угла, и проведенными в обеих гранях  перпендикулярно  этому ребру.     
Обе плоскости сечения содержат в себе диагональ куба А1С,  которая  является линией их пересечения.  
Соотношение линейных  величин у кубов одинаковы.  
 Пусть данный куб единичный, где его ребро равно 1.   
Тогда его диагональ А1С по формуле диагонали куба равна √3, а  диагональ его грани равна √2.    
А1С=√3   А1В=√2    
Искомый угол ∠В1КН, где В1К - высота треугольник аА1В1С.    
В1Н - перпендикуляр из В1 на плоскость А1СВ, в частности, В1Н  перпендикулярен А1В.   
Из треугольник аА1В1С найдем В1К.   
Треугольники А1В1С и КВ1С подобны. 
 А1В1:В1К=А1С:В1С  
1/В1К=√3/√2  
Грани куба - равные квадраты.   
Диагонали квадрата перпендикулярны и точкой пересечения  делятся пополам.  
 В1Н ⊥ А1В, ⇒ является половиной диагонали грани куба  и  равна ( √2):2  
  В1К ⊥  А1С,  НК ⊥ А1С.   
Треугольник В1НК - прямоугольный.  
 cos ∠ НВ1К=В1Н:В1К   
 cos ∠НВ1К=(√2/2):√2/√3=√3/2, и это косинус угла 30º.  
 Значит, угол В1КН, как второй острый угол прямоугольного   треугольника, равен 90º-30º=60º