1. прямоугольник АВСD-ромб. Диагональ ВD равна стенке ромба. Найдите угол между векторами (AD) ⃗ и (DC)⃗. [2] 2. точка К лежит на стенке ad параллелограмма, где AK: KD = 2: 3.выразите вектор (ВК) ⃗ (AD) через векторы ⃗=a и (ВА) ⃗=B. [2]

3. АВСD-параллелограмм. (CD) таб- (CB) таб +(DA) таб найти. [2]

4. a ⃗=i ⃗+5j ⃗ b, ⃗=- 4i ⃗-2j ⃗ векторы подачи. найти длину вектора m ⃗=-2a ⃗+1/2 b⃗. [3]

5.даны векторы m ⃗(3;-1),n ⃗(3;2),a ⃗=(6;x).

a) косинус угла между векторами m ⃗ и n ⃗ ;

b) если векторы m ⃗ и a ⃗ коллинеарны, число х;

с) найдите число x, если векторы n ⃗ и a перпендикуляр перпендикулярны. [5]

6. дан треугольник МНК. MN = 2 см, NK=5√2 см, MNK= 45о . Найдите длину медианы ND. Нарисуйте картину​

Для начала найдем отношение ВР/РС. Для этого:
Проведем  BD параллельно АС. Тогда <PAC=<BDA, как накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей АD.
∆АКМ ~ ∆BKD по двум углам (1).
∆АРС ~ ∆DРВ по двум углам (2).
Из (1) BD/AM=4  и BD=4AM = 2AC.
Из (2) BP/PC=2.
ВМ - медиана и по ее свойствам Sabm=Scbm.
Треугольники  АВК и АКМ - треугольники с общей высотой к стороне ВМ. Значит Sabk/Sakm=4/1. => Sabk=Sabc*(1/2)*(4/5)=(2/5)*Sabc.
Sakm=Sabc*1/(2*5)=(1/10)*Sabc.
Треугольники  ABP и APC - треугольники с общей высотой к стороне ВC.
Значит Sabp/Sapc=2/1. => Sapc=Sabc*1/3=(1/3)*Sabc.
Тогда Skpcm=Sapc-Sakm  =  (1/3)*Sabc-(1/10)*Sabc = (7/30)*Sabc.
Sabk/Skpcm=(2/5)/(7/30)=12/7.

1. Р=сумма всех сторон
Р=10+12+14=36 см

2. 4+7=11 (частей)
Одна часть: 44/11 = 2
Большее основание равно: 2*4=8 см
Меньшее основание равно: 2*7=14 см

3. Диагонали делят острые углы трапеции пополам => получаем ромб, у которого все стороны равны 8 см. Р=8+8+8+10=34 см

4. Имеем трапецию ABCD. Основания - AD, BC. Диагонали пересекаются в точке P. MN - средняя линия, пересекаемая сторону BD в точке О и AC в точке K. В треугольнике ABC средняя линия MK равна 1/2*BC, а средняя линия KN в треугольнике ACD = 1/2*AD. 
Треугольник BCP одновременно прямоугольный и равнобедренный, соответственно высота, опущенная из точки P к вершине, является медианой. Она равна 1/2*BC.
В треугольнике APD, высота, опущенная из точки P, - медиана. Равна 1/2*AD.
Что и требовалось доказать.