В треугольнике АВС известны длины сторон АВ =8 и АС = 64.
Точка О центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВD перпендикулярная прямой АО , пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD.
–––––––––––––––––
Продлим ВD до пересечения с окружностью в точке М.
Хорда МВ перпендикулярна радиусу ОА ( по условию) и при пересечении с ним делится пополам ( свойство).
Тогда радиус ОА делит угол ВОМ пополам. Дуги АМ и АВ, на которые опираются равные центральные углы МОА и ВОА, также равны.
Отсюда следует равенство углов АВМ и ВСА - опираются на равные дуги.
В треугольниках АВС и АВD угол ВАС общий, ∠АВD=∠ВСА ⇒
∆ АВС ~ ∆ АВD по 1-му признаку подобия. Из подобия следует отношение:
АВ:АС=АD:АВ
АВ²=АD•AC
64=AD•64⇒ AD=1
CD=64-1=63 (ед. длины)
Построение:
Проведем произвольную прямую а. Отметим на ней точку В.
1) Из вершины В данного угла раствором циркуля, равным длине ВК, делаем насечки М и Е на сторонах угла.
2) Соеденим точки М и Е.
3) Отложим на прямой а от В отрезок BК, равный ВМ=биссектрисе ВК.
4) Из точки К проведем полуокружность радиусом, равным отрезку МЕ
5) От В раствором циркуля, равным ВЕ, проведем полуокружность до пересечения с полуокружностью из К
6) Через точку пересечения полуокружностей проведем луч ВЕ'. Данный по условию угол построен.
7) Точно так же построим угол, равный построенному, в другой полуплоскости от прямой а. Получившийся угол равен двум углам ВКС ( в котором ВК - биссектриса)
8) Из К, как из центра, проведем полуокружность радиусом. равным отрезку СК. Точку пересечения с лучом ВЕ' обозначим С.
9) От С через К проведем прямую до пересечения со второй стороной построенного угла ( которая по другую сторону от а).Точку пересечения обозначим А.
10) Треугольник АВС построен. В нем ВК - биссектриса заданной длины, угол СВА=2 угла СВК, КС равен заданному отрезку СК.
