Докажите что (ABC) параалельна (MNK)

1.  Из пучка прямых  α(2x+y -1) +β(2x -y +2) =0 выберите две взаимно перпендикулярные прямые.

α =β =1   ⇒4x +1 =0     ⇔ x = -1/4 .
α = - β =1⇒2y - 3/2 =0  ⇔ y  = 3 /2  .
* * * x = -1/4  и  y = 3/2  * * *
M₀(  -1/4 ; 3 /2)  центр пучка   прямых 
y -y₀ =k(x -x₀) ⇔y -3/2 =k*(x +1/4) . 
 Любые две прямые :  1)  y - 3/2 =k*(x +1/4)  и  2) y - 3/2 = (- 1/k)*(x +1/4) .
можно задавать например: 
a)  k = -2 ⇒ 2x+y -1 =0  и    4x -8y +13 =0 .
b) k = 2   ⇒ 2x -y +2 0  и      4x +8y -11= 0

2. Найдите каноническое уравнение прямой  : {x+y -2 = 0 ;y - z +1 =0 .

(x - x₁) / (x₂-x₁) = (y - y₁) / (y₂-y₁) = (z - z₁) / (z₂ - z₁) ;
Выбираем две точки :  M₁(1; 1; 2 ) ,  M₂(2; 0; 1 ) 
(x - 1) / (2 -1) = (y - 1) / (0 -1) = (z - 2) / (1 - 2) ⇔
(x - 1) / 1 = (y - 1) / (-1) = (z - 2) / ( -1) .

1) Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 15см и катетом 12см. Найдите площадь боковой поверхности, если грань содержащая больший катет – квадрат.
Решение.
По Пифагору найдем второй катет основания призмы:
√(15²-12²)=√(27*3)=9см.
Следовательно, больший катет равен 12см и высота призмы равна 12см (так как боковая грань - квадрат 12х12 - дано).
Площадь боковой поверхности призмы равна Sб=P*h, где Р - периметр, а h - высота призмы.
Sб=36*12=432см².

2) Ребро правильного тетраэдра равно а. Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2, и проходящей параллельно ребру АВ.
Решение.
Условие для однозначного решения не полное.
Во-первых, не понятно условие "Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2".
Проходящее - содержащее это ребро или пересекающее его?
Раз сечение делит ребро в отношении 1:2, значит плоскость пересекает это ребро и делит его в отношении 1:2, но считая от какой вершины?
Во вторых, таких сечений может быть бесконечное множество, так как плоскость, параллельная прямой АВ, может пересекать тетраэдр в любом направлении. Например, параллельно грани АВS (сечение MNP) или проходящее через точку Q на ребре AS (сечение MQDN).
Причем линия пересечения грани АSB и плоскости сечения будет параллельна ребру АВ.
Вывод: однозначного решения по задаче с таким условием нет.