Ромб abcd со стороной 4 см и углом 60 и правильный треугольник pdc не лежат в одной плоскости. точка p удалена от прямой ab на расстояние 2 см. косинус угла между плоскостями ромба и треугольника равен?

Рассмотрим параллелограмм АВСД (см. рисунок) стороны которого: АВ=32 см, ВС=40 см. Из угла АВС проведем перпендикуляр ВЕ и расстояние между вершинам тупых углов ВД
Рассмотрим треугольник АВЕ:
Угол АЕВ=90 градусов, Гипотенуза АВ=32 см, Катет АЕ=16 см (по условию задачи)
По теореме Пифагора найдем второй катет (высоту):
ВЕ= √(АВ^2-АЕ^2)= √(32^2-16^2)= √(1024-256)= √768 см.
Теперь рассмотрим треугольник BДE:
ДЕ=АД-АЕ=40-16=24 см. ВЕ=√768 см. Угол ВЕД=90 градусов
По теореме Пифагора найдем ВД:
ВД=√(ВЕ^2+ВД^2)= √((√768)^2+24^2))= √(768+576)= √1344=8√21 см или приблизительно 36,66 см.
ответ: расстояние между вершинами тупых углов равно 8√21 см

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ABCD-прямоугольник. Все боковые грани тоже прямоугольники. AD=12, CD=5, A1C=15. Найдите углы между A1C и плоскостью АВС и между A1C и плоскостью BB1С1.

а) Угол между А1С и плоскостью АВС– это угол АСА1 между А1С и её проекцией АС на плоскость АВС. 

По т.Пифагора АС=√(AD*+CD*)=√(144=25)=13

cosACA1=AC:A1C=13/15

б) Угол между А1С и плоскостью ВВ1С - это угол А1СВ1 между А1С и её проекцией СВ1 на плоскость ВВ1С. 

sin A1CB1=A1B1:A1C

A1B1=CD=5 

sin A1CB1=5:15=1/3

ответ: arccos 13/15 ( это 29°55') и arcsin 1/3 ( это 19°28')