Дано: О- середина АВ
1=2
довести :∆С=∆D​

Прямоугольные ΔАДС и ΔВЕС подобны по острому углу (угол С- общий).
Значит АД/ВЕ=ДС/ЕС=АС/ВС
или ДС/АС=ЕС/ВС
Получается, что ΔАВС подобен ΔДЕС по 2 пропорциональным сторонам (ДС/АС=ЕС/ВС) и углу между ними (угол С- общий)
ДС/АС=ЕС/ВС=ЕД/АВ
Т.к. ЕС=ВС*cos C и ДС=АС*cos C, то ЕД/АВ=cos C. 
Вокруг четырехугольника НДСЕ можно описать окружность, т.к. суммы величин его противоположных углов равны 180° (<Д+<Е=90+90=180°). Вписанные углы НДС и НЕС прямые, значит они опираются на диаметр СН, тогда радиус окружности R=СН/2=65/2=32,5
ΔДЕС является тоже вписанным в эту окружность, значит R=ЕД/2sin C,
откуда sin C=ЕД/2R=60/65=12/13
cos C=√(1-sin²C)=√(1-144/169)=√25/169=5/13
АВ=ЕД/cos C=60 / 5/13=156. 

1. Там опечатка. с пересекает не АВ а АМ в т. С

Треугольники АВD и АВС - равны по катету АВ и острому углу ВАС = ВАD

Значит и другие катеты тоже равны:

ВС = BD, что и треб. доказать.

2. АВС и АВ1С1 - два остроугольных тр-ка.

Пусть АВ = А1В1. Проведем высоты и медианы к этим сторонамСК и С1К1 - медианы, СМ и С1М1 - высоты. По условию СК = С1К1, а СМ = С1М1

Тогда пр. тр. СКМ = С1К1М1 (по катету и гипотенузе)

Значит и другие катеты равны: КМ = К1М1

Так как КВ = АВ/2 = К1В1 = А1В1/2:  МВ = М1В1

Значит пр. тр-ки СВМ и С1В1М1 равны по двум катетам. Значит равны и гипотенузы и углы:

угол В = углу В1, ВС = В1С1

В итоге получили:

Треугольники АВС и А1В1С1 равны по двум сторонам и углу между ними (АВ = А1В1,  ВС = В1С1, угол В = углу В1). Что и требовалось доказать