Пусть дан треугольник АВС с прямым углом А, в котором проведена биссектриса АЕ, длину которой нужно найти.
Биссектриса треугольника делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Запишем пропорцию:
Пусть 
. Тогда 
.
Запишем теорему Пифагора для треугольника АВС:
Значит:
Запишем теорему синусов для треугольника АЕС:
Так как АЕ - биссектриса, то ЕАВ и ЕАС равны по половине прямого угла, то есть по 45°.
Синус угла С определим как отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Теперь можем найти биссектрису:
ответ: 
ответ: площадь равна пи (или просто п)
Объяснение:
1) построим треугольник, нижний катет 3, боковой 4. Впишем окружность, проведем радиусы к катетам. Соединим вершину катета в 3 с центром окружности. Получатся два подобных треугольника: их катеты равны по радиусу, другие - неизвестны (будут равны), обозначим их за Х.
2) в пересчете получим, что нижний катет основного треугольника делится радиусом на 3-Х и Х, гипотенуза на Х и 5-Х (гипотенуза равна 5 - египетский треугольник), боковой катет - на 5-Х и 4-5+Х
3) составим уравнение Х-1=3-Х, откуда Х=2. подставим, получим, что у прямоугольника, образованного двумя радиусами к катетам основного треугольника и частями основных катетов, составляющих прямой угол, две соседние стороны образуют прямой угол + равны , значит это квадрат, значит радиус равен 1( стороны этого маленького треугольника равны 1)
4) площадь окружности п*(r^2)=п*1=п
