В треугольнике ABC угол С равен 90 градусов, CH - высота, AC=6, cosA=5/6.
Найти BH

ДАНО: АВСD – ромб ; точка О – точка пересечения диагоналей AC и BD ; CF = FD ; CE = EB.

ДОКАЗАТЬ: ЕF = BO , EF перпендикулярен АС.
________________________

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

1) Рассмотрим ∆ BCD:
CF = FD , CE = EB → поэтому EF - средняя линия. По свойству средней линии:
Средняя линия параллельна третьей стороне, то есть BD и равна её половине →
EF || BD и EF = 1/2 × BD

По свойству ромба:
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам →
ВD перпендикулярен АС ; ВО = ОD = 1/2 × BD ; AO = OC = 1/2 × AC

Значит, EF = 1/2 × BD = 1/2 × 2 × BO = BO

2) Как было сказано вышe:
EF || BD, но AC перпендикулярен BD.
Если одна из двух параллельных прямых a или b перпендикулярна третьей прямой c, то и другая прямая a или b перпендикулярна этой же прямой c.

Из этого следует, что EF перпендикулярен AC, что и требовалось доказать.

Объяснение:

а) Во вписанном квадрате диагональ равна 2 радиуса=2р. значит

2а²=4р²      а=р*√2

для нахождения стороны треугольника опустим высоту до пересечения с окружностью. Получим прямоугольный треугольник.

Высота одновременно и медиана и биссектрисса. Сторона против угла 30 при вершине равна р (половине гипотенузы) Гипотенуза равна 2р.

значит сторона треугольника равна а²=4р²-р²=3р²     а=р*√3

периметр треугольника равен 4р√3

периметр квадрата равен 4р√2

соотношение равно √3:√2

б) описанный увадрат имеет сторону равную диаметр 2р.

Периметр квадрата равен 4*2р=8р

В треугольнике соединим вершину и центр круга и опустим радиус в точку касания. Радиус в точку касания перпендикулярен стороне и лежит против угла в 30 градусов. Значит отрезок соединяющий вершину и центр окружности равен 2р. Половину стороны треугольника находим по теореме Пифагора.

а²/4=4р²-р²=3р²

а=2√3*р   периметр равен 4*2*√3*р=8√3р

соотношение периметра треугольника к квадрату равно

8√3р:8р= √3 :1