Докажите, что треугольник АВС является равнобедренным и укажите его основание, если А(1; 4), В(– 6; 3), С(– 3; 7).

Чтобы доказать, что треугольник АВС является равнобедренным, нам нужно проверить, что две его стороны равны друг другу. Для этого нам понадобятся расстояния между точками АВ, АС и ВС.

1. Найдем длину стороны АВ, используя формулу расстояния между двумя точками:

AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]

Где (x1, y1) - координаты точки А, (x2, y2) - координаты точки В.

AB = √[(-6 - 1)² + (3 - 4)²]
= √[(-7)² + (-1)²]
= √[49 + 1]
= √50
= 5√2

2. Найдем длину стороны АС:

AC = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]

Где (x1, y1) - координаты точки А, (x2, y2) - координаты точки С.

AC = √[(-3 - 1)² + (7 - 4)²]
= √[(-4)² + 3²]
= √[16 + 9]
= √25
= 5

Теперь у нас есть длины сторон АВ и АС: AB = 5√2 и AC = 5.

Для того чтобы треугольник был равнобедренным, стороны АВ и АС должны быть равны. Однако, в данном случае, эти длины не равны. Поэтому треугольник АВС не является равнобедренным.

Чтобы найти основание треугольника, мы должны найти третью сторону ВС и сравнить ее с остальными сторонами.

3. Найдем длину стороны ВС:

BC = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]

Где (x1, y1) - координаты точки В, (x2, y2) - координаты точки С.

BC = √[(-3 - (-6))² + (7 - 3)²]
= √[3² + 4²]
= √[9 + 16]
= √25
= 5

Мы видим, что длина стороны ВС равна 5, как и сторона АС. Поэтому основание треугольника АВС - это сторона ВС.

Итак, треугольник АВС не является равнобедренным, а его основание - сторона ВС.