Выясним, о каком многоугольнике речь. Из каждой вершины выпуклого n-угольника можно провести диагонали во все вершины , кроме 2-х смежных и самой себя, т.е. n-3 диагонали. Однако, любая диагональ из А в С есть одновременно и диагональ из С в А. Поэтому, у выпуклого n-угольника число диагоналей d=n·(n-3)/2. В то же время, по условиям задачи, у нашего многоугольника d=3n. Решаем уравнение: 3n=n·(n-3)/2; 6n=n²-3n; 9n=n²; n=9 Таким образом, речь идет о 9-угольнике. Поскольку правильный n-угольник можно представить, как n смыкающихся треугольников с общей вершиной, сумма всех внутренних углов правильного n-угольника равна n·180°-360°. В данном случае, для 9-угольника: 9·180°-360°=1260°
АВСД - трапеция, вписанная окружность касается сторон окружности АВ, ВС , СД и АД в точках К, М, Н и Р соответственно, АК=4 см, ВК=1 см. Радиус вписанной окружности: r=√(АК·ВК)=√4=2 см - первый ответ.
Опустим высоту ВЕ на основание АД. В тр-ке АВЕ cosA=АЕ/АВ. АВ=АК+ВК=5 см. В равнобедренной трапеции АЕ=(АД-ВС)/2. АР=АК и ВК=ВМ как касательные к окружности из одной точки соответственно, АД=2АР=2АК=8 см, ВС=2ВМ=2ВК=2 см. АЕ=(8-2)/2=3 см. cosA=3/5. В тр-ке АВД по т. косинусов ВД²=АВ²+АД²-2АВ·АД·cosA, ВД²=5²+8²-2·5·8·3/5=41, ВД=√41. В тр-ке АВД ВД/sinA=2R ⇒ R=ВД/2sinA. Окружность, описанная около треугольника АВД, также является описанной около трапеции АВСД. sin²A=1-cos²A=1-9/25=16/25, sinA=4/5. R=5√41/8 см - второй ответ.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
