△ ABC равнобедренный, AB = AC. Все три стороны треугольника ABC, а также высота AD являются целыми положительными числами. Если площадь ABC составляет 60 см2, определите все возможные периметры △ ABC.
Примечание: вы можете использовать тот факт, что высота равнобедренного треугольника, нарисованного на неравной стороне, делит пополам неравную сторону.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
AOD - прямоугольный треугольник.
ОР - высота из прямого угла в треугольнике AOD.
ОР=√(АР*РD)=√(6√3*2√3)=6см.
По Пифагору АО=√(АР²+ОР²)=√(108+36)=12см.
R=AJ=JO=JP = АО/2 = 6см.
Площадь круга Sк=π*R²=36π.
В прямоугольном треугольнике АРО катет ОР равен половине
гипотенузы АО, значит <PAO=30°,
<РАК=60° (так как АО - биссектриса <PAK) => дуга РОК=120°.
<PJK=120°(центральный угол, опирающийся на дугу РОК).
РН=0,5*АР=3√3см (катет против угла 30°).
AH=√(АР²-РH²)=√(108-27)=9см.
Площадь треугольника АКР равна
Sapk=AH*PH=9*3√3=27√3см².
Площадь сегмента КОР равна
Skop=(R²/2)*(π*α/180 -Sinα) - формула.
В нашем случае α=<PKJ =120°.
Skop=(36/2)*(π*120/180 -√3/2)
Skop=(12π-9√3)см².
Искомая площадь равна
S=Sк-Sapk-Skop = 36π-27√3-12π+9√3 = (24π-18√3)см².

Площадь правильного треугольника находят по формуле:S=1/2*a*h, где а - это основание, а h -высота, опущенная на основание

У нас известна  а , т.к. все стороны правильного треугольника равны⇒ а=6 см.

Найти высоту можно по формуле Пифагора.

Так, высота в равностороннем треугольнике (правильный треугольник - это равносторонний треугольник) является также биссектрисой и медианой.

Как медиана, она делит сторону, на которую опущена,  пополам. Проведя высоту получаем прямоугольный треугольник, один из катетов которого есть высотой правильного треугольника, а второй из катетов равен половине стороны:  6:2=3 (см).

Находим ее (высоты правильного треугольника) значение : 6²+3²=36+9=45, √45=√9*5=3√5 (см),

тогда площадь правильного треугольника равна: 1/2*6*3√5=9√5 (см)