Для каждой вершины надо определить векторы сторон и их модули.
Угол А: векторы АВ и АС.
АВ = (1-(-1); -√3-√3)) = (2; -2√3), модуль равен √(4 + 12) = 4.
АС = (0,5-(-1); √3-√3) = (1,5; 0), модуль равен 1,5.
cos A = (2*1.5+( -2√3)*0)/(4*1.5) = 3/6 = 1/2.
Угол А = arccos(1/2) = 60 градусов.
Аналогично определяются другие углы.
Координаты векторов сторон
АВ BC (a) AС (b)
x y x y x y
2 -3,4641 -0,5 3,4641 1,5 0
Длины сторон АВ (с) = √(4+ 12) = √16 = 4
BC (а) = √(0,25+ 12) = √12,25 = 3,5
AC (b) = √(2,2+ 0) = √2,25 = 1,5.
Углы по векторам
cos A = (3+ 0)/ 6 = 0,5.
А = 1,0472 60 градусов
cos B = (1 +12)/ 14 = 0,9286.
В = 0,3803 21,7868 градуса
cos C = (-0,75 + 0)/ 5,25 = -0,14286
С = 1,71414 98,2132 градуса.
Можно проверить по теореме косинусов:
cos B = (a^2+c^2-b^2)/(2ac) = 26/ 28 = 0,928571429
B = arccos 0,9286 = 0,38025 радиан 21,7868 градуса/
cos C = (a^2+b^2-c^2)/(2ab)= -1,5/ 10,5 = -0,142857143
C = arccos -0,14286 = 1,714144 радиан 98,2132 градуса
Sastd = 67,5+15√3 см².
Объяснение:
Площадь боковой поверхности пирамиды ASTD - это сумма площадей боковых граней ATS, ADS и ATD, так как по принятому обозначению пирамиды ее вершина обозначается первой.
Площадь грани ADS (правильного треугольника) равна
Sads = √3*а²/4 = √3*100/4 = 25√3 см².
Площадь грани ATD (прямоугольного треугольника) равна
Satd = (1|2)*AT*AD = 30 см².
Площадь грани ATS равна
Sasb = Sads = 25√3 см², так как площади граней равны.
Площади треугольников АST и BST имеют общую высоту (высоту грани ASB) и относятся как стороны, к которым проведена эта высота, то есть Sats/Sbts = 3/2. А так как Sasb = Sats+Sbts, то
Sats/Sasb = 3/5. тогда
Sats = (3/5)*Sasb = (3/5)*25√3 = 15,5 см².
Площадь боковой поверхности пирамиды ASTD равна:
Sastd = 25√3 + 30 + 37,5 = 67,5+15√3 см².
P.S. На всякий случай:
Площадь грани STD можем найти по Герону.
По теореме косинусов в треугольнике AST:
ST² = √(AT²+AS²-2*AT*AS*Cos60). (угол SAT = 60, так как грани - правильные треугольники). Тогда
ST = √(136-2*AT*AS*(1/2)) = √76.
DT = √(AT²+AD²) = √136.
SD = 10.
Полупериметр равен (10+√136+√76)/2 и по Герону:
Sstd = √((10+√136+√76)*(10+√76-√136)*(10+√136-√76)*(√136+√76-10))/4 или
Sstd = √((10+√76)²-136)*(136-(10-√76)²)/4 или
Sstd = √((20√76+40)*(20√76-40))/4 или
Sstd = √((30400-1600)/4 = √28800/4 = 120√2/4 =30√2.
