Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали граней AA1B1B и BB1C1C равны (2корня из 41) и 10 соответственно, АВ=10. а) Докажите, что треугольник А1С1В прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды АСС1В1.​

Вот пришло в голову решение :) Так-то задачка ерундовая :)
Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) )
Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC;
то есть ∠BAC = ∠BA1C;
Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому
∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK;
следовательно ∠BAC = ∠BMK; 
и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.

Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.

Дополнение. Тривиальный решения тут такой.
∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C;
BK =  BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A);
BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C);
То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны.
коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.

Осевое сечение - это сечение геометрической фигуры, плоскость которой  проходит через ось данной фигуры. Сечение конуса, которое проходит через его ось - равнобедренный треугольник, потому как образующие образуют боковые стороны этого треугольника. Имеем равнобедренный треугольник ABC: AB = BC = 2*sqrt(3). CO - высота конуса, которая является и медианой, и биссектрисой в равнобедренном треугольнике, опущенная на основу. Следовательно, угол BCO = углу ACO = 60 градусов. Из прямоугольного треугольника BOC: угол CBO = 90 - 60 = 30 градусов. Катет, который лежит против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы: OB = CB/2, OB = sqrt(3) = R. Найдем высоту конуса. Из теоремы Пифагора: CO^2 = CB^2 - OB^2, CO^2 = 12 - 3 = 9, CO = 3 см = H. Площадь основания конуса - это площадь окружности: S = pi*R^2, S =  3*pi см^2.
Объем конуса равен (S*H)/3, V = (3*3pi)/3 = 3pi см^3.