Попробуем геометрически построить катет прямоугольного треугольника, равные синусу 30°
Берём равносторонний треугольник со стороной 1. Все его углы по 60°
Режем его пополам высотой. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой.
Как биссектриса она делит угол, из которого проведена пополам.
60/2 = 30°
Как медиана она делит сторону, к которой проведена пополам, и длина катета, противолежащего углу в 30°, составляет половину от стороны исходного треугольника, т.е. 1/2
Получаем прямоугольный треугольник с острым углом 30°, и катетом против этого угла, равным половине стороны исходного треугольника
(Смотрм, например, верхнюю половину исходного треугольника)
По определению, синус - в прямоугольном треугольнике это отношение катета, противолежащего углу к гипотенузе.
Гипотенуза 1, катет 1/2
sin(30°) = 1/2 / 1 = 1/2
Пусть дан треугольник АВС, ВМ - его медиана.
АС:ВМ=3:2
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Следовательно, медиана делит основание АС на АМ=МС, а точка на ней, равноудаленная от сторон треугольника, - центр вписанной в него окружности. ОМ=ОК=r.
Примем коэффициент отношения основания и высоты равным а.
Тогда ВМ=2а. и МС=АС:2=3а:2=1,5а,
По т. Пифагора найдем боковую сторону.
ВС=√(BM²+MC²)=√(4a²+2,25a²)=2,5a
АВ=ВС.
Р=2•2,5а+3а=8а
8а=96,⇒ а=12 см
ВМ=2•12=24 см
МС=1,5•12=18 см, АС=36 см
Формула радиуса вписанной в треугольник окружности
r=S:p, где р- полупериметр. р=96:2=48 см
r=ВМ•СМ:48=24•18:48=9 см
Длина окружности L=2πr=18π см
