Прямая AD перпендикулярна к плоскости правильного ΔABC, а точка M- середина стороны BC. Докажите, что MD перпендикулярна BC.

ответ: 100°

Объяснение: если соединить точки касания А и В, то получится ∆АОВ. Он равнобедренный, поскольку ОА=ОВ= радиусу. Так как углы в равнобедренном треугольнике равны, то угол АВО=углу ВАО=50. Рассмотрим ∆АВС. Он также является равнобедренным поскольку прямые соединяются в одной точке, и поэтому АС=ВС и угол САВ=углу СВА. Радиусы, проведённые к точке касания образует с ней прямой угол=90° и теперь найдём эти углы: угол САВ=углу СВА=90-50=40°. Теперь найдём угол С: 180-40×2=180-80=100°

Угол С= 100°

1) т.к. сумма углов треугольника=180*, то угол А=180-(82+40)=58*2) т.к. СС1-биссектриса угла С, то угол С1СВ и угол С1СА=20*3) т.к. АА1-биссектриса угла А, то угол ВАА1 и угол А1АС=29*4) т.к. сумма углов треугольника=180*, то угол ВС1С=180-(82+20)=78*5) т.к. сумма углов треугольника=180*, то угол ВА1А=180-(82+29)=69*6) из 2 пункта следует, что угол С1СА=20*из 3 пункта следует, что угол А1АС=29*7) т.к. сумма углов треугольника=180*, то из 6 пункта следует, что угол АМС=180-(29+20)=131*8) т.к. угол АМС и угол С1МА1 вертикальные, следовательно они равны, следовательно угол С1МА1=131*
 Или так:1) угол С1СА=40:2=20уголМАС=(180-82-40):2=29