Решите задачу по геометрии

Даны две точки A и B, имеющие конкретные координаты.

Точка М имеет переменные координаты х и у: М(х; у).

Если обе части заданного выражения BM²- AM² = 2AB² разделить на 2AB², то получим уравнение:

(BM²/2AB²) - (AM²/2AB²) = 1.

Если в этом уравнении разнести координаты по х и по у, то получится уравнение гиперболы.

Выразим отрезки АМ, ВМ и АВ через координаты.

АМ = √((хМ - хА)² + (уМ - уА)²).

ВМ = √((хМ - хВ)² + (уМ - уВ)²).

АВ = √((хВ - хА)² + (уВ - уА)²).

Заданное множество точек соответствует уравнению:

((хМ - хА)² + (уМ - уА)²) - ((хМ - хВ)² + (уМ - уВ)²) =

= 2*((хВ - хА)² + (уВ - уА)²).

Если бы были известны координаты точек, то можно было бы  определить уравнение для конкретных условий.

Вот пришло в голову решение :) Так-то задачка ерундовая :)
Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) )
Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC;
то есть ∠BAC = ∠BA1C;
Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому
∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK;
следовательно ∠BAC = ∠BMK; 
и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.

Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.

Дополнение. Тривиальный решения тут такой.
∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C;
BK =  BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A);
BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C);
То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны.
коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.