Чему равны стороны прямоугольника a и b, если они соотносятся как 2 : 3, а площадь прямоугольника равна 726 см^2?

сечение пирамиды, проходящее через середины сторон ас, вс и ам, будет прямоугольником (это можно доказать, использовав теорему о трех перпендикулярах) .

площадь прямоугольника равна s = ab, где а, b - стороны прямоугольника.

одна из сторон этого прямоугольника будет средней линией треугольника авс и поэтому равна половине стороны ав, значит равна 3

другая сторона прямоугольника будет средней линией треугольника амс и поэтому равна половине стороны мс и равна 2

s = 3*2 = 6

так что площадь сечения будет 6 кв. ед. ))

Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника - это отрезки, на которые высота из прямого угла делит гипотенузу. 
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. 
Отсюда h² =12*3=36
h=6
По теореме Пифагора из треугольников, на которые высота разделила исходный треугольник, найти катеты  сложности не представляет.
 Меньший катет равен 3√5,
больший - 6√5
Проверка: 
Квадрат гипотенузы равен (3√5)²+ (6√5)²=225
Гипотенуза равна √225=15, что соответствует условию задачи.