В треугольнике АВС точка М делит сторону АВ в отношении 7:1. Точка О делит МС в отношении 3:2, считая от точки М. Найти площадь треугольника АОВ, если площадь треугольника АВС равна 80.

а - сторона ромба

периметр

Р = 4 а = 52

а = 52/4 = 13 см

Диагонали ромбы d1 и d2 перпендикулярны = >

d1 / d2 = 5 / 12 или d1 = 5d2 / 12

Cтороны прямоугольных треугольников, образуемых диагоналями, будут ^

d1/2, d2/2 - катеты

а - - гипотенуза (она же сторона ромба)

По теореме пифагора

(d1/2) ^2 + (d2/2) ^2 = a^2

d1^2 + d2^2 = 4a^2

(5d2 / 12) ^2 + d2^2 = 13^2

25d2^2 + 144d2^2 = 13^2 * 12^2

169d2^2 = (13^2*12^2

13^2 d2^2 = 13^2 * 12^2

d2^2 = 12^2

d2 = 12 см - вторая диагональ

d1 = 5d2 / 12 = 5 * 12 / 12 = 5 - первая диагональ

ответ: диагонали d1=5 cм, d2 = 12 см

Рисуем треугольник АВС. Угол А - прямой.
Проводим высоту АК на сторону СВ.
ВК = 6 см
КС = 2 см
Составляем уравнения теоремы Пифагора
АК^2 = AC^2 - KC^2
или
АК^2 = AC^2 - 4 [уравнение 1]
AK^2 = AB^2 - BK^2
или
AK^2 = AB^2 - 36 [уравнение 2]
AB^2 + AC^2 = BC^2
или
AB^2 + AC^2 = 64 [уравнение 3]
Складываем уравнени [1] и [2]
2 * АК^2 = AC^2 + AB^2 - 40
Вместо суммы квадратов катетов подставляем значение квадрвта гипотенузы из уравнения 3
2 * АК^2 = 64 - 40
АК^2 = 12
Находим катет АС
АС^2 = AK^2 + KC^2 =
AC^2=12 + 4 = 16
AC = 4 см
sin В = АС/СВ = 4/8 = 1/2
В = 30 гр
С = 60 град