Объяснение:
Свойства правильного (равностороннего) треугольника: "В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны 60°. В равностороннем треугольнике высоты являются и медианами, и биссектрисами. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают. Точка пересечения серединных перпендикуляров - центр описанной окружности.
Определение: "Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике".
Следовательно, векторы ОА, ОВ и ОС - радиусы описанной около правильного треугольника окружности.
ОА=ОВ=ОС = R.
Сумма векторов ОВ + ОС = OD (по правилу сложения).
<BOC = 120°, <OBD = 60°.
|OD| = √(OA²+OC² - 2*OA*OCCos60°) или
|OD| = √(R²+R² - 2*R²*1/2) = R.
<BOD = 60°, <AOB = 120°. <BOD + <AOB = 180°.
Следовательно, AOD - развернутый угол, векторы ОА и OD равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Сумма таких векторов равна нулю, значит сумма векторов ОА+ОВ+ОС = 0, что и требовалось доказать.
Дано: ΔАВС - прямокутний, ∠А=90°, АС=30 см, ВС=34 см; МК⊥ВС, ВМ=МС. Знайти МК.
Знайдемо АВ за теоремою Піфагора:
АВ=√(ВС²-АС²)=√(1156-900)=√256=16 см.
Проведемо ВК і розглянемо ΔВКС - рівнобедрений, тому що ВМ=СМ і МК⊥ВС, отже ВК=КС.
Нехай АК=х см, тоді КС=ВК=30-х см.
Знайдемо АК з ΔАВК - прямокутного:
АВ²=ВК²-АК²; 16² = (30-х)² - х²; 256=900-60х+х²-х²;
60х=900-256=644; х=10 11/15 см. АК=10 11/15 см, тоді
ВК = 30 - 10 11/15 = 19 4/15 = 289/15 см.
Знайдемо МК за теоремою Піфагора з ΔВМК, де ВМ=34:2=17 см.
МК²=ВК²-ВМ²=(289/15)² - 17² = (83521/225) - 289 = 18496/225.
МК=√(18496/225)=136/15=9 1\15 см.
Відповідь: 9 1/15 см.
