15 B прямоугольном треугольнике катет гипотенуза равны 9 и 15 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
ответ:​

Высота QL делит тр-к PQR на два подобных треугольника: QRL и  PQL. Эти прямоугольные тр-ки подобны по двум равным углам: уг.QRL = уг.PQL  и уг.RQL = уг.QPL как острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Эти тр-ки подобны также и исходному тр-ку PQR по тем же углам.

Против равных углов в подобных тр-ках лежат пропорциональные стороны:

Катет PQ в тр-ке PQR и катет PL в тр-ке PQL лежат против равных углов (уг.QRL = уг.PQL), гипотенуза  PR в тр-ке PQR и гипотенуза PQ в тр-ке PQL лежат (естественно!) против прямых углов, поэтому
PQ:PL = PR:PQ: ,

откуда

PQ^2 = PL * PR.

Периметр треугольника равен 24. Докажите что расстояние от любой точки плоскости, до хотя бы одной из его вершин больше 4

Решение может быть основано на одном из основных свойств треугольника:
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности ( a < b + c,  a > b – c;  и так же - для каждой стороны любого треугольника.
Сумма двух сторон данного треугольника  периметра 24 не может быть меньше 12,11111, иначе треугольник не получится.
Поэтому расстояние от любой точки плоскости - независимо от того, вне или внутри треугольника точка-  до хотя бы одной из вершин этого треугольника будет больше половины длины большей его стороны, т.е. больше 4.

Другой доказательства.
Рассмотрим случаи, когда эта точка равноудалена от каждой из вершин, т.е. находится в центре описанной окружности.
Тогда при ее смещении расстояние от нее до хотя бы одной из вершин треугольника будет больше радиуса описанной окружности. 
У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.
Случай1 - равносторонний треугольник АВС. 
Р=24, 
а=24:3=8.
Возьмем для рассмотрения точку Е - центр описанной окружности вокруг треугольника АВС.
 Расстояние от нее до каждой из вершин является одинаковым.
Высота ( медиана, биссектриса ) равна 
h=a*sin(60)
R=ВЕ=СЕ=СА=h:3*2=2*{(8√3):2}:3=4,6188, 
т.е. больше 4. 
Естественно предположить, что любая другая точка, расположенная внутри АВС, (М, Р, К) будет хотя бы от одной из вершин расположена на расстоянии большем, чем R.
Очевидно, что в случае, когда данная точка находится вне плоскости треугольника, она тем более будет находиться на расстоянии, большем, чем радиус  описанной окружности, т.е. большем, чем 4.

Случай 2 - произвольный треугольник АВС.
Пусть длина его сторон 9, 8 и 7. Центр описанной вокру него окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров. 
R=abc:4S
Площадь данного  треугольника, найденная по формуле Герона, равна  приблизительно 26, 833 
R=≈4,695, и это больше, чем 4.
Изменение места расположения точки Е приводит к тому, что расстояние до какой-либо из вершин будет больше R, и, естественно, больше 4.
  Для прямоугольного треугольника равное расстояние до вершин будет R=5
Соответственно, если точка Е будет расположена в другом месте плоскости, то и расстояние от нее до хотя бы одной из вершин будет больше. 
ответ:
Расстояние от любой точки плоскости  до хотя бы одной из его вершин треугольника с периметром 24  больше 4, что и требовалось доказать. 
[email protected]