Окружности:
центр A, радиус 2
центр B, радиус 5
центр C, радиус x
AB=10
Точка касания двух окружностей лежит на линии центров.
Если окружности касаются внешним образом, расстояние между центрами равно сумме радиусов.
Если окружности касаются внутренним образом, расстояние между центрами равно разности радиусов.
1) Окружность C касается окружности A внутренним образом, а окружности B внешним образом.
AC = |x-2|
BC =x+5
Для трех точек действует неравенство треугольника (ACB). Причем нас устраивает вырожденный треугольник (когда С лежит на AB), поэтому неравенство нестрогое.
AC+BC >= AB
Если x<2, то |x-2|=2-x
Тогда 2-x+x+5 >= 10 <=> 7>=10, противоречие
Следовательно x>=2 и |x-2|=x-2
x-2+x+5 >= 10
x >= (10+2-5)/2
x >= 3,5
2) Окружность C касается окружности A внешним образом, а окружности B внутренним образом.
AC =x+2
BC = |x-5|
Аналогично
x+2+x-5 >= 10
x >= 6,5
Таким образом радиус третьей окружности в любом случае не меньше 3,5.
1. Угол между АС и MKF.
FC₁ ║ KC, FC₁ = KC как половины противоположных ребер грани куба, ∠КСС₁ = 90°, значит КСС₁F - прямоугольник, ⇒ KF ║ СС₁.
Ребро СС₁ перпендикулярно плоскости АВС, значит и KF ⊥АВС.
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она так же перпендикулярна этой плоскости:
MKF⊥АВС. Тогда плоскость MKF перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и АС.
∠(АС; MKF) = 90°.
2. Угол между АС₁ и ВСС₁.
Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
АВ⊥ВСС₁, тогда ВС₁ - проекция АС₁ на плоскость ВСС₁ и
∠АС₁В - искомый.
Если ребро куба равно а, то диагональ грани куба равна а√2.
ΔАС₁В: ∠АВС₁ = 90°, ВС₁ = а√2, АВ = а.
tg∠AC₁B = AB / BC₁ = a / (a√2) = 1/√2
∠AC₁B = arctg(1/√2).
3. Угол между B₁D и АСС₁.
DO⊥АС по свойству диагоналей квадрата, DO⊥AA₁, так как АА₁⊥АВС, тогда DO⊥АСС₁. Значит ОО₁ - проекция B₁D на плоскость АСС₁.
∠DTO - искомый.
OD = 1/2 BD = a√2/2
B₁D = a√3 как диагональ куба, тогда DT = a√3/2.
Из прямоугольного треугольника DOT:
sin∠DTO = OD/DT = a√2/2 / (a√3/2) = √2/√3 = √6/3
∠DTO = arcsin (√6/3)
4. Угол между DD₁ и АМF.
Проведем прямую MF и отметим точки Т и Р пересечения ее с прямыми А₁В₁ и А₁D₁ соответственно.
Прямая АТ пересекает ребро ВВ₁ в точке Е, а прямая АР пересекает ребро DD₁ в точке Н.
АЕМFН - сечение куба плоскостью AMF.
MF║B₁D₁, значит MF⊥A₁C₁, MF⊥AA₁, тогда MF⊥АСС₁.
Плоскость AMF проходит через прямую MF, значит
AMF⊥ACC₁.
Проведем A₁S перпендикулярно линии пересечения этих плоскостей. Тогда A₁S⊥AMF, значит AS - проекция АА₁ на AMF, и
∠А₁АS - искомый (DD₁║AA₁ и угол между АА₁ и AMF равен углу между DD₁ и AMF).
RC₁ = 3/4 A₁C₁ (MF - средняя линия ΔB₁C₁D₁ и RC₁ равен половине половины диагонали B₁D₁)
RC₁ = 3/4 a√2
Из прямоугольного треугольника A₁AR:
tg∠A₁AR = A₁R / AA₁ = 3/4 a√2 / a = 3√2/4
∠A₁AR = arctg(3√2/4)
