. Изобразите какой-нибудь равнобедренный треугольник, осно- ванием которого является отрезок AB, а вершина. С находится
в одном из узлов сетки (рис. 10.7).​

Окружность = 360°
1) 5+4 =9 столько частей в этих 360°
Меньшая дуга 360:9*4=40°*4=160°
Градусная величина этой дуги соответствует величине центрального угла ( на рисунке 1 это угол АОВ). 
Вписанный угол АСВ  равен половине центрального угла. 
160°:2=80° - под этим углом видна хорда из  любой точки на дуге АСВ
Если точку взять  на дуге по другую сторону хорды, то угол, под которым она будет видна, равен 
360°:9*5:2=100°. Но обычно имеется в виду острый угол. 
------------
2) 7+3=10 столько частей в двух дугах. 
360°:10*3=108° содержит центральный угол КОМ ( второй рисунок)
Вписанный угол МЕК равен половине градусной меры центрального угла. 
108°:2=54° - под этим углом видна вторая хорда. 
(Или, если точка расположена по другую сторону хорды, 
360:10*7:2=126°)

6

 

AD=25

AB=15

BAC=DAC

DB и АВ перпендиккулярны

 

Накрест лежащие углы CAD и АСВ равны. Тогда АВС равнобедренный и ВС=15

Треугольники ABH и ABD подобны. Отношение:

АВ:АН=АD:АВ

15:АН=25:15

АН=9

 

Остается найти ВН  по теореме Пифагора:

ВН=корень(15^2-9^2)=12

 

S=(15+25)/2*12=240

 

ответ: 240

 

7

 

Теорема косинусов для треугольника AМC

AC^2=AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC

 

Теорема косинусов для треугольника BМC

BC^2=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

 

AC=BC (треугольник равносторонний) Тогда AC^2=BC^2

 

AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

AM^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2-2*BM*CM*cosBMC

 

АМ и ВM знаем

2^2-2*2*CM*cosAMC=10^2-2*10*CM*cosBMC

4-4*CM*cosAMC=100-20*CM*cosBMC

 

Углы ВМС и ВАС равны, опираются на одну дугу. ВАС=60 - равносторонний треугольник.

Угол АМС=АМВ+ВМС=АСВ+ВАС=60+60=120

 

4-4*CM*cos120=100-20*CM*cos60

4-4*CM*(-1/2)=100-20*CM*1/2

4+2*CM=100-10*CM

12*CM=96

СМ=8

 

ответ: 8