На плоскости проведена окружность радиуса 1 с центром О. Две соседние вершины квадрата лежат на этой окружности. На каком наибольшем расстоянии от точки О могут лежать две другие его вершины?

Задача решается через подобие треугольников В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны. Первый треугольник АВС, где: АВ - это высота столба, АВ=5,4 (м); АС - длина тени столба, ее нужно найти, АС=х (м); угол А=90°, угол В - это угол, под которым падает луч солнца. Второй треугольник КНР, где: КН - это рост человека, КН=170 (см)=1,7 (м); КР - это длина тени человека, КР=1 (м); угол К=90°; угол Н - это угол, под которым падает луч солнца. Прямоугольные треугольники АВС и КНР подобны по острому углу: уг.В=уг.Н; Из подобия треугольников следует соотношение: АВ/КН=АС/КР; 5,4/1,7=х/1; х=3 3/17 (м); ответ: 3 3/17

Если соединить точки на серединах сторон треугольника, то получим средние линии каждой из сторон.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Поскольку каждая сторона меньшего треугольника равна половине параллельной стороны большего, их отношение равно 1:2 и коэффициент подобия k равне 1/2 или 2, если считать отношение большей стороны к параллельной ей стороне меньшего треугольника, равное 2:1.