Рассмотрим треугольное сечение конуса, проходящее через его ось. Проведем в нем высоту, и получим два прямоугольных треугольника, в каждом из которых гипотенуза - образующая - равна 10, а катеты отновятся как 3:4. Тогда длины катетов равны 6 и 8 (по теореме Пифагора, длина гипотенузы относится к длинам катетов, как 5:4:3). Объем конуса равен 1/3 произведения площади основания на высоту. Высота равна 8, площадь основания равна pi*36, тогда объем равен 36*8*pi/3=96pi. Объем куба равен этому же числу, тогда ребро куба равно кубическому корню из 96pi.
Получили прямоугольный треугольник, одним катетом АС которого является перпендикуляр, а наклонная АВ является гипотенузой, проекция на плоскость ВС - это второй катет. Ищем его по теореме Пифогора.
√(81-36)=√45см
Получили треугольник АВС, в котором АС=6см, АВ=9см, ВС=√45см
Из вершины прямого угла С проводим перпендикуляр СН на гипотенузу АВ. АН - это и есть проекция перпендикуляра АС на наклонную АВ. Можно решать через подобие полученных треугольников, но лучше по теореме Пифагора.
Пусть ВН=х, тогда АН=9-х
Из треуг. АНС: CH^2=36-(9-x)^2
Из треуг. СНВ: CH^2=45-x^2
Приравниваем:
36-(9-x)^2=45-x^2
36-81+18х-x^2==45-x^2
18x=90
x=5
CH=√(45-25)=√20=2√5см
