Продолжим касательные до их пересечения в т.Р.
ОА⊥АС и О1С⊥АС ( радиусы, проведенные в точку касания.
Из т.О проведем параллельно АС прямую до пересечения с СО1 в т.Н.
Четырехугольник АОНС - прямоугольник. СН=АО=r=12 ⇒
О1Н=20-12=8
⊿ ОНО1 - прямоугольный. ОО1=12+20=32.
По т.Пифагора
ОН=√(OO1²-O1H²)=√(32²-8²)=√960=8√15
cos∠HOO1=OH:OO1=
Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.⇒
РС=РD, PA=PB ⇒ BD=AC=8√15
∆ СРD равнобедренный, ∆ РАВ равнобедренный ⇒
биссектриса АО1 перпендикулярна АВ и СD
∠СРО1=∠DPO1
Расстояние между АВ и СD - длина общего между ними перпендикуляра.
Проведем ВМ || РО1
ВМ⊥АВ и ВМ⊥СD.
∆ ВМD прямоугольный. ∠МВD=∠O1PD
ВМ=BD•cosO1PD=8√15•√15:4=30
DOA = 70°. Дано в задаче.
BOC = DOA = 70°. Вертикальные углы равны (1).
DOC = 180° - 70° - 110°. Смежные углы в сумме дают 180° (2).
AOB = DOC = 110°. (1).
ODC = (180° - 110°) / 2 = 35°. Сумма углов треугольника равна 180° (3). Если треугольник равнобедренный, то углы при его основаниях равны (4).
ADO = 90° - 35° = 55°. Два угла составляют прямой угол (5).
OAD = ADO = 55°. (4).
OAB = 90° - 55° = 35°. (5).
OBA = OAB = 35°. (4).
OBC = 90° - 35° = 55°. (5).
OCB = OBC = 55°. (4).
Все остальные углы состоят из других и их можно посчитать по сумме. Например:
DAB = DAO + BAO = 55° + 35° = 90°.
