пусть точка на стороне АС = с (не важно, как обозначить, это не понадобится в решении) отсекает отрезок АМ = x*c. Тогда второй отрезок (1 - х)*с.
х, конечно, неизвестно.
Но.
Треугольники, отсеченные параллельными прямыми, подобны исходному. Это одначает, что у первого треугольника все стороны отностятся к сторонам исходного тр-ка, как х, а площади их отностятся, как х^2, то есть
S1 = S*x^2;
S - площадь треугольника, тоже неизвестная, как и х.
(Если вы не знаете, как относятся площади подобных фигур, если задано отношение сторон, дело плохо :((()
Для второго треугольника, тоже подобного исходному, аналогичное выражение
S2 = S*(1 - x)^2;
Делим второе соотношение на первое, и получаем уравнение для х
(1 - х)^2/x^2 = S2/S1;
Извлекаем корень и решаем отностиельно х, получаем
x = корень(S1)/(корень(S2) + корень(S1));
Подставляем опять в первое соотношение, получаем S
S = S1/x^2 = (корень(S2) + корень(S1))^2 = S1 + S2 + 2*(корень(S2*S1));
Площадь параллелограмма равна S - S1 - S2, поэтому ответ
2*(корень(S2*S1)). Удвоенное среднее геометрическое.
Оба треугольника 1 и 2 подобны исходному. Если какая-то (все равно - какая) сторона треугольника z, а соответственные ей стороны треугольников 1 и 2 - x и y, то
x + y = z; (это справедливо для любой стороны, но видно лучше всего, если z - основание) или x/z + y/z = 1;
Если обозначить S площадь всего треугольника, то S₁/S = (x/z)^2 и S₂/S = (y/z)^2; (площади подобных фигур пропорциональны квадратам линейных размеров, ну, скажем к примеру, - если сторона квадрата в 2 раза больше, то площадь - в 4, и так для любых подобных фигур - это теория, должны знать :))
Поэтому √(S₁/S ) + √(S₂/S) = 1; или S = (√S₁ + √S₂)^2 = (4 + 5)^2 = 81;
Отсюда площадь параллелограмма равна S - (S₁ + S₂) = 81 - (16 + 25) = 40;
