Трикутник А'В'С'- проекція рівностороннього трикутника (рис.109). Побудуйте проекцію перпендикуляра, проведеного з точки М' до сторони А'С'.

а) Любой прямоугольный треугольник можно разрезать на два равнобедренных треугольника.

Верно.

В любом прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине (см. рисунок). Если разрезать треугольник по медиане, то получим два равнобедренных треугольника.

б) Существует четырехугольник со сторонами 2, 3, 5, 11.

Неверно.

Каждая сторона четырехугольника должна быть меньше суммы остальных его сторон.  

В данном четырехугольнике для стороны 11:  

11 < 5 + 3 + 2 - неравенство неверно, значит четырехугольник с такими сторонами не существует.

в) В любом выпуклом пятиугольнике всегда есть тупой угол.

Верно.

Сумма углов выпуклого многоугольника определяется по формуле:

180°(n - 2), где n - количество сторон.

Для пятиугольника:

180° · 3 = 540°.

Если предположить, что все его углы острые (меньше 90°), то сумма будет меньше 90° · 5 = 450°. Значит есть тупой угол.

г) Внутри любого треугольника существует точка, равноудаленная  от всех его вершин.

Неверно.

Точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, - это центр описанной окружности.

Только в остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри треугольника. В прямоугольном - на стороне (середина гипотенузы). В тупоугольном - вне треугольника.

АВ = Рabcd : 4 = 12 : 4 = 3 см
ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит
AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см

ΔABD равнобедренный, поэтому
∠ABD = ∠ADB,
BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
BB₁ = DD₁.

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x.
ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°.
∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.

Рассмотрим ΔD₁OB. По теореме косинусов
D₁B² = OD₁² + OB² - 2·OD₁·OB·cos 80°
9/4 = x² + 4x² - 2 · x · 2x · cos80°
9/4 = 5x² - 4x² · cos80°
9/4 = x² (5 - 4cos80°)
x² = 9 / (4(5 - 4cos80°))
x = 3  / (2√(5 - 4cos80°))

BB₁ = 3x = 9  / (2√(5 - 4cos80°)) или


Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится:
cos 80° ≈ 0,1736
BB₁  = 9  / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2