Контрольная работа No 1 Вариант 1
B
С
1. ABCD
параллелограмм
(рис. 1), ZA + 2C = 100°.
Найдите угол В.
Рис. 1
2. ABCD - прямоугольник, АС= 12 см, CD = 8 см. Найдите
периметр треугольника АОВ, где 0 — точка пересечения
диагоналей.
3. Периметр ромба ABCD равен 24 см, ZA = 60°. Найдите
среднюю линию МК треугольника ABD, где М Е АВ,
KEAD.
B
4. В трапеции ABCD (рис. 2)
СЕ || AB, AE = 8 см, ,
ED = 10 см, Prср = 27 см.
Найдите:
а) среднюю линию трапеции;
6) периметр трапеции.
А
E
Рис. 2
5. В треугольнике ABC проведена медиана ВМ, отрезки
мк || АВ (KeBC), KN || AC (NE AB). Найдите периметр
четырехугольника АNKC, если КС = 7 см, AC
BN 9 см.
= 16 см,
Щ

Треугольник с прямым углом - это прямоугольный треугольник.

Так как меньшие стороны "прилегают" к прямому углу, то эти стороны - катеты.

Так как катеты имеют длины 6 см и 8 см, то также такой треугольник - египетский (треугольник с соотношением сторон, равным 3:4:5). Следовательно, гипотенуза равна 10 см (можно также проверить через теорему Пифагора).

Высота, проведённая к большей стороне - высота, проведённая к гипотенузе (так как гипотенуза - самая большая сторона в прямоугольном треугольнике).

Высота, проведённая к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу.

То есть -

h = 4,8 см.

Проведем МN||АВ..

Четырехугольник КВNM - параллелограмм по построению =>

MN=ВК

Рассмотрим треугольники АКМ и СNМ

В равнобедренном треугольнике АВС углы при основании АС равны. =>

∠ВАМ=∠ВСМ

∠АКМ=∠СNМ=∠АВС - соответственные при параллельных прямых и секущей.

Если в  треугольниках два угла равны, то равны е третьи углы. => ∠КАМ=∠NMC

ΔАКМ = ΔСNM по второму признаку равенства треугольников. Сходственные элементы равных треугольников равны.  =>

АМ=СМ, ч.т.д.

————

Или:

КМ||ВС по условию,, ⇒∠КМА=∠ВСМ - соответственные при параллельных прямых КМ и ВС и секущей АС.

Δ АВС  равнобедренный ⇒ ∠ВАС=∠ВСА, следовательно, в ∆ АКМ углы при М и А равны, ∆ АКМ - равнобедренный. КА=КМ=ВК

КМ параллельна ВС ⇒  КМ - средняя линия ∆ АВС и М - середина АС. Отсюда следует равенство АМ=МС.