Определение: "Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость".
Опустим перпендикуляр С1Н на прямую СD1, лежащую в плоскости А1ВС (это плоскость А1ВСD1, так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости АА1В1В и DD1C1C по параллельным прямым А1В и D1C). Отрезок С1Н перпендикулярен любой прямой, проходящей через точку Н, лежащую в данной плоскости (свойство). Значит <C1HB=90° и искомый угол - это угол С1ВН - угол между наклонной ВС1 м ее проекцией ВН на плоскость А1ВС. В прямоугольном треугольнике С1ВН: синус угла С1ВН - это отношение противолежащего катета С1Н к гипотенузе ВС1.
По Пифагору D1C=√(D1C1²+CC1²) = √(36+64) = 10 ед (так как АВ=D1C1, a AA1=CC1, как боковые ребра параллелепипеда.
Точно так же ВС1=√(ВC²+CC1²) = √(225+64) = 17 ед.
Высота С1Н из прямого угла по ее свойству равна:
С1Н=(С1D1*CC1/D1C = 6*8/10 = 4,8 ед.
Тогда Sinα = C1H/BC1 = 4,8/17 ≈ 0,2823.
α = arcsin0,2823 ≈ 16,4°.
Чертёж смотрите во вложении.
Дано:ΔАВС - прямоугольный.
∠А = 90°.
∠С = 30°.
Точка М - середина СВ.
МН - серединный перпендикуляр.
Доказать:МН < больший катет (АС) в 3 раза.
Доказательство:Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Следовательно -
∠С+∠В = 90°
∠В = 90°-∠С
∠В = 90°-30°
∠В = 60°.
Проведём медиану к гипотенузе. Она пересечёт точку М, так как эта точка середина по условию.
Медиана, проведённая к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника (так как медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине).
То есть -
ΔАСМ и ΔАМВ - равнобедренные.
Рассмотрим ΔАМВ - равнобедренный. У него есть угол в 60°, а значит, он и равносторонний (признак равностороннего треугольника).
Следовательно, по свойству равностороннего треугольника, ∠АМВ = 60° (каждый угол равностороннего треугольника равен по 60°).
Рассмотрим ΔАСМ - равнобедренный. ∠С = ∠МАС = 30° (так как углы у основания равнобедренного треугольника равны.
Рассмотрим ∠НМВ = 90°.
∠НМВ = ∠НМА+∠АМВ
∠НМА = ∠НМВ-∠АМВ
∠НМА = 90°-60°
∠НМА = 30°.
Так как ∠НМА = ∠НАМ, то ΔАНМ - равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника. Причём НМ = АН (так как лежат против равных углов в одном треугольнике).
Рассмотрим ΔСНМ - прямоугольный. Пусть катет НМ - х.
Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузе.
То есть -
СН = 2*НМ
СН = 2х.
Но НМ = АН = х (по выше доказанному).
Поэтому -
АС = СН+АН
АС = 2х+х
АС = 3х.
А теперь составим отношение АС и НМ, и сравним их -
Это нам и нужно было доказать.
ответ:что требовалось доказать.
