5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA, B,C,D, AD = 6 см, CD = = 8 см, точка 0 точка пересечения диагоналей грани ABCD. Угол
наклона отрезка В,0 к плоскости ABB, равен 30°. Вычислите объем
параллелепипеда ABCDA, B,C,D,.

решить!​

1. Площадь параллелограмма равна 72 см², а его стороны - 12 см и 8 см. Найдите высоты параллелограмма.

Sabcd = a · h₁                       Sabcd = b · h₂
12 · h₁ = 72                            8 · h₂ = 72
h₁  = 72/12 = 6 см                h₂ = 72/8 = 9 см

2. Площадь ромба со стороной 18 см и высотой 7 см равна площади прямоугольника со стороной 14 см. Найдите периметр прямоугольника.

Sabcd = Sklmn
AD · BH = a · b
18 · 7 = 14 · b
b = 18 · 7 / 14 = 9 см
Pklmn = 2(a + b) = 2(14 +9) = 46 см

3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 15 см, а основание - 24 см.

Проведем ВН - высоту треугольника АВС. Так как треугольник равнобедренный, ВН является медианой.
АН = НС = 24/2 = 12 см

ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора
             ВН = √(АВ² - АН²)  = √(225 - 144) = √81 = 9 см

Sabc = AC · BH / 2 = 24 · 9 / 2 = 108 см²

4. Меньшая диагональ ромба равна 12 см, а один из углов - 60°. Найдите вторую диагональ и сторону ромба.

ΔABD равнобедренный (AB = AD как стороны ромба) и ∠BAD = 60°, значит ΔABD равносторонний. Тогда АВ = AD = BD = 12 см.

По свойству параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон параллелограмма:
AC² + BD² = 4·AB²
AC² = 4·12² - 12² = 3·12²
AC = 12√3 см
 
5. Большее основание и большая боковая сторона прямоугольной трапеции равны а см, а один из углов - 60°. Найдите площадь трапеции.

AD = DC = a см, ∠ADC = 60°, значит ΔADC равносторонний.
Проведем высоту трапеции СН. Она является высотой и медианой равностороннего треугольника ADC, тогда СН = а√3/2 см, АН = НD = а/2.
СН ║ АВ (как перпендикуляры к одной прямой) и СН = АВ (как высоты трапеции), тогда АВСН - прямоугольник, значит, ВС = АН = а/2 см.
Sabcd = (AD + BC)/2 · CH = (a + a/2)/2 · a√3/2 = 3a²√3/8 см²

Для этого надо составить уравнения сторон в виде у = кх + в.
У параллельных прямых коэффициенты "к" равны.
Сторона АВ:
Уравнение прямой:
Будем искать уравнение в виде y = k · x + b .
В этом уравнении:
k - угловой коэффициент прямой (k = tg(φ), φ - угол, который образует данная прямая с положительным направлением оси OX);
b - y-координата точки (0; b), в которой искомая прямая пересекает ось OY.
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (2 - (-6)) / (4 - (2)) = 4;
b = yB - k · xB = 2 - (4) · (4) = yA - k · xA = -6 - (4) · (2) = -14 .
Искомое уравнение: y = 4 · x  - 14 .

Сторона ВС:
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (5 - (2)) / (-2 - (4)) = -0.5;
b = yB - k · xB = 5 - (-0.5) · (-2) = yA - k · xA = 2 - (-0.5) · (4) = 4 .
Искомое уравнение: y = -0.5 · x + 4 .

Сторона СД:
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (1 - (5)) / (-3 - (-2)) = 4;
b = yB - k · xB = 1 - (4) · (-3) = yA - k · xA = 5 - (4) · (-2) = 13 .
Искомое уравнение: y = 4 · x + 13 .

Сторона АД:
k = (yB - yA) / (xB - xA) = (1 - (-6)) / (-3 - (2)) = -1.4;
b = yB - k · xB = 1 - (-1.4) · (-3) = yA - k · xA = -6 - (-1.4) · (2) = -3.2 .
Искомое уравнение: y = -1.4 · x  - 3.2 .

Уравнения сторон АВ и СД имеют одинаковые коэффициенты "к", поэтому заданный четырёхугольник - трапеция.