а это уже посложнее.
Я приведу ДВА стандартных решения, и решение, доступное тому, кто не владеет ничем, кроме теоремы Пифагора.
1. Стандартный БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ, КАК Я ОБОЗНАЧИЛ СТОРОНЫ, сторона обозначается малой буквой, если ПРОТИВОЛЕЖАЩИЙ УГОЛ обозначается большой, то есть a = BC, b = AC, c = AB)
Вычисляем площадь по формуле Герона.
Полупериметр p = 21/2; p - a = 7/2; p - b = 5/2; p - c = 9/2;
S = корень(21*9*7*5)/4 = (21/4)*корень(15).
Далее, вычисляем высоту к стороне а = 7, это h = 2*S/а = (3/2)*корень(15);
sin(B) = h/c = корень(15)/4; (если не понятно, то пусть основание высоты на стороне ВС это Е, то есть АЕ перпендикулярно ВС, внимательно смотрим на прямоугольный треугольник АЕВ и видим, что sin(B) = АЕ/АВ).
2. Второе стандартное решение
По теореме косинусов
8^2 = 6^2 + 7^2 - 2*6*7*cos(B);
cos(B) = (6^2 + 7^2 - 8^2)/(2*6*7) = 1/4.
sin(B) = корень(1 - (сos(B))^2) = корень(15)/4;
3. Решение "для чайников"
пусть основание высоты на стороне ВС = 7 это Е, то есть АЕ перпендикулярно ВС, sin(B) = АЕ/АВ. Обозначим ВЕ = х, AE = h.
Тогда по Теореме Пифагора
x^2 + h^2 = 6^2;
(7 - x)^2 + h^2 = 8^2;
7^2 - 2*7*x + x^2 + h^2 = 8^2;
7^2 - 14*x +6^2 = 8^2;
x = 3/2; h = корень(6^2 - (3/2)^2) = 3*корень(15)/2; Это у нас АЕ, а АВ = 6, поэтому
sin(B) = АЕ/АВ = корень(15)/4;
Ну хватит
Площадь основания считается по формуле Герона: a = 15; b = 16; c = 17;
p = (a + b + c)/2 = 24; p - a = 9; p - b = 8; p - c = 7;
S = корень(24*9*8*7) = 24*корень(21);
Площадь боковой поверхности в данном случае проще всего сосчитать по формуле
Sбок = S/cos(60) = 48*корень(21); площадь полной поверхности 72*корень(21).
Если надо -
доказать формулу Sбок*cos(Ф) = S, если все грани наклонены под одним углом, просто, если представить площадь основания как сумму площадей проекций боковых граней. Ясно, что у каждой боковой грани в качестве проекции - треугольник, у которого общее с гранью основание - это ребро основания пирамиды, а отношение высот как раз равно cos(Ф). Кроме того, при равных углах наклона боковых граней вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности, поскольку эта проекция будет равноудалена от сторон оснований. Это означает, что все АПОФЕМЫ равны. И - само собой, доказывает необходимую формулу - достаточно просто сложить площади всех проекций боковых граней.
