У треугольников АВС и А1В1С1 ∠А=∠А1 ∠В=∠В1 АВ = 5 м, ВС = 7 м, А1В1 = 10 м А1С1 = 8м Найти остальные стороны треугольников (указание: сделать рисунок и сначала доказать, что ∆ АВС ∾ ∆ А1В1С1) ( размеры сторон для удобства нанесите на рисунок)

1. Т.к. треугольник равнобедренный, то высота=биссектриса=медиана ⇒ делит угол 120° на два по 60, образует с основанием два угла по 90° ⇒ образуются два одинаковых прямоугольных Δ. Углы при основании по 30°, сторона, противолежащая углу в 30 = половине гипотенузы ⇒ гипотенуза в данном случае = 9*2=18.

2. Меньшему углу соответствует меньший катет ⇒ этот угол 30° (90-60), применяем свойство из 1-го задания. Гипотенуза = 12*2 = 24.

3. Нет, не может. Если угол А - тупой, то противолежащая сторона (BC) должна быть наибольшей, что противоречит условию.

4. Если угол, противоположный основанию = 40, то углы при основании = (180-40)/2 = 70°. Если углы при основании по 40, то третий угол = 180-40*2 =100°.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Следовательно, четырехугольник KLMN - параллелограмм (на всякий случай).
а) NL - медиана треугольника ВNC. Следовательно,
Sbnl=Scnl (свойство медианы).
Но Sabln=Sdcln - дано.
Значит и Sabn=Sdcn.
Треугольники АВN и DCN имеют одинаковые основания, (точка N - середина отрезка AD. Значит и высоты ВР и CQ, проведенные к этим основаниям, равны.
Перпендикуляры ВP=CQ, значит точки В и С прямой ВС находится на одинаковом расстоянии от прямой АD, то есть ВС параллельна AD,
что и требовалось доказать.
б) АВСD - трапеция (доказано выше).
КМ - ее средняя линия.
Skbcn=(1/2)(BC+KM)*h1 (площадь трапеции).
Sakmd=(1/2)(AD+KM)*h2.
Но h1=h2, так как КМ - средняя линия трапеции.
Тогда Skbcn/Sakmd=(BC+KM)/(AD+KM).
КМ=(ВС+АD)/2.
Skbcn/Sakmd=(3ВС+AD)/BC+3AD=11/17 (дано)
51ВС+17AD=11BC+33AD.
40BC=16AD.
ВC/AD=2/5.