Дано: AD – биссектриса угла ВАС, АВ=АС. Докажите, что ABD=ADC
​

Доказательство в объяснении.

Объяснени

Треугольники АВМ и КСD равны по двум сторонам (АВ = CD, как противоположные сьороны параллелограмма ABCD, АМ = КС, как половины равных сторон BC и AD параллелограмма ABCD) и углу между ними (∠А = ∠С, как противоположные углы  параллелограмма ABCD). Из равенства треугольников  ВМ = KD.

Тогда четырехугольник BKDM - параллелограмм по признаку: "Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм", твк как ВК = MD (половины равных сторон AD и ВС), а ВМ = KD - доказано выше.

В параллелограмме BKDM диагонали точкой пересечения делятся пополам (свойство), что и требовалось доказать.

ΔАВС - равнобедренный,  АВ=ВС ,  вписанная окр. r=ОН=ОК=3 cм
ВН - высота ΔАВС  ⇒  ΔАВН - прямоугольный, ∠АНВ=90°,
ΔВОК - прямоугольный, т.к. ∠ВКО=90° (как радиус впис. окр., проведённый к стороне Δ).
ΔАВН ~ ΔВКО по двум углам, т.к. ∠АВН - общий, а ∠ВАН=∠ВОК=90°-∠АВН.
По теореме Пифагора ВО=√(ВК²+ОК²)=√(4²+3²)=5
⇒  ВН=ВО+ОН=ВО+r=5+3=8 (cм)
Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:
ВК:ВН=ОК:АН=ВО:АВ  ⇒  4:8=3:АН=5:АВ  ⇒  АН=6 , АВ=10.
АС=2*АН=2*6=12 , т.к. высота ВН явл. ещё и медианой.
tg∠ВАС=ВН/АН=8/6=4/3  ⇒  ∠ВАС=arctg4/3
Радиус описанной окружности найдём из формулы:  .
S=1/2*АС*ВН=1/2*12*8=48 (см²)
R=(10*10*12)/(4*48)=6,25 (см)