В прямоугольном треугольнике ABC угол C=90°,AB=8 см, угол ABC=45°. Найдите: а) AC; б) высотуCD, проведённую к гипотенузе.

Обозначим через ВК высоту, опущенную на сторону АС.
ВК=BD*sin(BDA)
С другой стороны, AD = AC / 2 = BD / cos(BDA) => AC = 2 * BD / cos(BDA)
Площадь S треугольника АВС:
S = ВК*АС / 2 = ВК*АD = BD*sin(BDA) * BD / cos(BDA) = BD^2 * tg(BDA)
tg(BDA) = S / BD^2; 1 / cos(BDA) = корень (1 + tg^2(BDA)) = корень (1 + S^2 / BD^4)
Таким образом,
AC = 2 * BD / cos(BDA) = 2 * BD * корень (1 + S^2 / BD^4)
АС = 2 * 3 * корень (1 + 12^2 / 3^4) = 6 * корень (1 + 144 / 81) = 6 * корень (225 / 81) = 6 * 15 / 9 = 10.

Відповідь:

а) по 16 см

б) 12см, 16см, 20см

в) 6см, 8см, 10см

Пояснення:

а) Нехай х - коефіцієнт пропорційності, тоді сторони = по х см

х + х + х = 48

3х = 48

х = 16см

Отже, кожна сторона = по 16см

б) Нехай х - коефіцієнт пропорційності, тоді перша сторона = 3х, друга = 4х, а третя = 5х

3х + 4х + 5х = 48

12х = 48

х = 4

перша сторона = 12см, друга = 16см, а третя = 20см

в) Нехай х - коефіцієнт пропорційності, тоді перша сторона = 7х, друга = 7х, а третя = 10х

7х + 7х + 10х = 48

24х = 48

х = 2

перша сторона = 6см, друга = 8см, а третя = 10см