В треугольнике ABC, AB = BC. Медианы треугольника пересекаются в точке O, OA = 5, OB = 6. Найдите площадь треугольника ABC.
============================================================
точка О - точка пересечения медиан ( см приложение )По свойству пересечения медиан в ΔАВС ВО:ОЕ = 2 : 1⇒ ОЕ = ВО/2 = 6/2 = 3 По свойству равнобедренного треугольника ВЕ⊥АС, ВЕ - медиана, высота, биссектрисаВ ΔАОЕ: по теореме ПифагораАЕ² = АО² - ОЕ² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16АЕ = 4АС = 2•АE = 2•4 = 8Значит, S abc = BE•AC/2 = 9•8/2 = 36ОТВЕТ: S abc = 36
Объяснение:
треугольник является прямоугольным, когда выполняется теорема Пифагора. Заменим a^4 = t; b^4 = m; c^4 = n;
2(t² + m² + n²) = (t + m + n)²
2t² + 2m² + 2n² = t² + m² + n² + 2tm + 2tn + 2mn
t² + m² + n² - 2tm - 2tn - 2mn = 0
(t-m)² + n² - 2tn - 2mn = 0
n² - 2n(t + m) + (t - m)² = 0
D/4 = (t+m)² - (t-m)² = 4mt ⇒ √D/2 = 2√(mt)
n = t + m ± 2√(mt) = (√t ± √m)²
Вернемся к замене:
c^4 = (√(a^4) ± √(b^4))²
c^4 = (a² ± b²)²
c² = | a² ± b² |
Возьмем знак "+", получим теорему Пифагора, что и требовалось доказать.
