Дано паралелограм ABCD використовуючи правило трикутника чи паралелограма обчисліть
AB+BC+DA+CD

Вектор (сторона) АВ{1-(-2);4-1}={3;3} модуль |AB|=√(3²+3²)=3√2.
Вектор BC{5-1;0-4}={4;-4} модуль |BC|=(4²+4²)=4√2.
Вектор CD{2-5;-3-0}={-3;-3} модуль |CD|=√(3²+3²)=3√2.
Вектор AD{2-(-2);-3-1}={4;-4} модуль |AD|=(4²+4²)=4√2.
итак, четырехугольник АВСD - параллелограмм, так как противоположные стороны попарно равны.
Проверим перпендикулярность векторов АВ и ВС, АВ и AD.
Векторы перпендикулярны, если их скалярные произведения равны 0.
(АВ*ВС)=Xab*Xbc+Yab*Ybc = 3*4+3*(-4)=0 => прямые перпендикулярны.
(АВ*АD)=Xab*Xad+Yab*Yad =3*4+3*(-4)=0  => прямые перпендикулярны.
Параллелограмм с прямыми углами - прямоугольник, что и требовалось доказать.

Составляем теорему косинусов для двух треугольников, образованных сторонами четырёхугольника и диагональю
учитывая тот факт, что сумма противоположных углов во вписанном четырёхугольнике равна π, а cos(π-α) = -cos(α)
d² = 1² + 4² - 2*1*4*cos(α)
d² = 2² + 3² + 2*2*3*cos(α)
---
d² = 1 + 16 - 8*cos(α)
d² = 4 + 9 + 12*cos(α)
---
d² = 17 - 8*cos(α)
d² = 13 + 12*cos(α)
вычтем из второго первое
0 = 13 + 12*cos(α) - 17 + 8*cos(α)
4 = 20*cos(α)
cos(α) = 1/5
---
d² = 17 - 8*cos(α)
d² = 17 - 8/5 = 85/5 - 8/5 = 77/5
d = √(77/5)