с размерами ччертёж плачу любые деньги

Тетраэдр называется правильным, если все его грани - равносторонние
треугольники. Вершина нашего тетраэдра проецируется в центр его основания, значит тангенс угла наклона бокового ребра правильного тетраэдра к плоскости его основания равен отношению высоты тетраэдра к 2/3 высоты основания (так как в правильном треугольнике - основании высота является и медианой, то расстояние от вершины до центра основания равно 2/3 высоты основания).
Высота основания h=(√3/2)*a, где а - сторона треугольника (ребро нашего тетраэдра).
Расстояние от вершины тетраэдра до центра основания равно
(2/3)*h=(√3/3)*a.
Высота тетраэдра равна по Пифагору H=√(a²-(3/9)*a²)=(√6/3)*a.
Тогда тангенс угла наклона  бокового ребра правильного тетраэдра к плоскости его основания равен
Tgα=H/h=(√6/3)*a/(√3/3)*a=√6/√3=√2.
ответ: Tgα=√2.

Пусть ABCD -трапеция , AD || BC , BC< AD ; P(ABCD) =20 ,S((ABCD) =20 .
трапецию   можно вписать окружность;
MN ⊥ AD ; O ∈ [ MN ],  O -пересечения диагоналей(MN проходит через O).
M∈ [AD] ,N∈ [BC].

ON -?

S =(AB +BC) /2 *H ,где  H  - высота трапеции .
По условию задачи  трапеция описана  окружности , следовательно :
AD+BC =(AB +CD) = P/2 =20/2 =10.
AB =CD =5 ;
S =(AB +BC) /2 *H ;
20 =5*H ⇒ H =4.
Проведем BE ⊥AD и  CF ⊥ AD,
AE =DF =√(AB² -BE)² =√(AB² -H²)  =√(5² -4²) =3 .
AD -BC =2*3 =6.
{ AD -BC =6 ; AD +BC =10 ⇒AD =8 ; BC =2.
ΔAOD подобен ΔCOB :
BC/AD =ON/ OM ⇔BC/AD =ON/ (H -ON) .
2/8 =ON/ (4 -ON) ⇒ON =0,8.

ответ:  0,8.