В треугольнике KML угол равен 90°. используя данные рисунка найдите: sin K=?
tg k=?
cos M=?
ctg M=?​

Сделаем рисунок.  
Обозначим точку пересечения окружности со стороной АВ буквой К, а со стороной АД  - буквое Е.  
Соединим эти точки.  
Вписанный угол КАЕ - прямой, ⇒ КЕ- диаметр окружности.  
Проведем через N и центр окружности О прямую HN. Она параллельна АD, т.к. ОN - радиус,  проведенный в точку касания и перпендикулярен стороне СD.  Соединим О и А радиусом ОА.  
 АН=ND =7 как стороны  прямоугольника АНND. 
ОН=ВМ=24, т.к. ОМ⊥ ВС как радиус, проведенный в точку касания к ВС.  
Из прямоугольного треугольника АОН найдем гипотенузу АО,  которая является радиусом  окружности: 
АО²=ОН²+АН²= 576+49=625 
АО=√625=25  
ОN=r=АO=25 
MC=ON=25 
ВС=ВМ+МС=24+25=49 
СD=CN+ND=25+7=32  
S (ABCD)=BC*CD=49*32=1568 ( ед. площади)
------
[email protected]

В данном случае необходимо использовать обратную теорему Пифагора. Которая гласит, что, если в треугольнике со сторонами a, b и c выполняется равенство c2 = a 2 + b 2 , то этот треугольник прямоугольный, причем прямой угол противолежит стороне c.

Так как сумма квадратов сторон треугольника МРК -  MP и KP -  равна квадрату большей стороны - MK:

9^2+12^2=15^2,значит треугольник-прямоугольный,то есть его площадь равна половине произведения катетов MPи KP:

S=9*12/2=54.

Если в треугольнике провести высоту PH, например, то она будет являться высотой и для треугольника МРК, и для треугольника КРТ. Таким образом, получаем, что:

Sкрт=1/2 * РН*КТ

Sмрк=1/2 * РН*МК

Данные площади относятся, как КТ/МК, то есть, как 10/15= 2/3 -> площадь треугольника КРТ равна 2*Sмрк /3 = 2* 54/3=36

Получается, что площадь второго треугольника - треугольника МРТ - равна 1/3 площади основного треугольника, то есть 18.

ответ: 18 и 36