1. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. Установите соответствия между отношени сторон и тригонометрическими функциями острого утла:

А
Б
В

​1)синус угла A
2) косинус угла A
3) синус угла B
4) косинус угла B
5) тангенс угла A
6) тангенс угла B
7) котангенс углаA
8) котангенс углаA

Треугольники АСД и АВС равнобедренные по условию.
∠ВСА=∠САД как накрест лежащие при параллельных АД и ВС и секущей АС, значит углы при основаниях в тр-ках АВС и АСД равны.
ВМ⊥АС, СК⊥АД.
Пусть ∠ВАС=α, ВС=х, АС=у, тогда АМ=у/2, АД=ВС+СД=х+у.
В тр-ке АВМ АМ=АВ·cosα или у/2=х·cosα ⇒ y=2x·cosα.
В тр-ке АСК АК=АС·cosα или (х+у)/2=у·cosα,
(x+2x·cosα)/2=2x·cos²α,
x+2x·cosα=4x·cos²α, x сокращается,
4cos²α-2cosα-1=0, решаем как квадратное уравнение с неизвестным cosα  ⇒⇒
cosα₁=(1-√5)/4, -1<х<0 - угол тупой
cosα₂=(1+√5)/4,
α=arccos(1+√5)/4=36°.
В трапеции АВСД:
∠А=2α=72°,
∠В=180-∠А=108°,
∠Д=α=36°,
∠С=180-∠Д=144° - это ответ.

Центры каждой грани куба являются вершинами выпуклого многогранника, объем которого равен 4,5. 

Найдите площадь поверхности куба.

------------------

Многогранник внутри куба - октаэдр-  состоит из двух правильных четырехугольных пирамид, в основании которых квадрат. Правильных - т.к. расстояние между центрами соседних граней куба равны.  Диагональ этого квадрата соединяет центры противоположных граней куба и потому равна его ребру. 

Примем ребро куба равным 2а. 

Тогда половина диагонали основания такой пирамиды равна а, а его ребро а√2 ( как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами=а)

Объем половины  восьмигранника равен объему  такой пирамиды:

V=(a√2)²•a/3=2а³/3, а объем октаэдра вдвое больше. ⇒

4а³/3=4,5

4а³=13,5

Объем куба с ребром =2а равен (2а)³=8а³=2•4а³

8а³=2•13,5=27

а=∛(27/8)

а=3/2 ⇒  2а=6/2=3

S куба=6•S грани

S куба=6*3² =54 (ед. площади)