Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами трапеции АВ, ВС, CD, AD буквами K, L, M, N соответственно. Тогда:
AB+CD = AK+BK+CM+DM = AN + BL + CL + DN = BC + AD
По основному свойству касательных: отрезки касательной, проведенной к окружности из одной точки, между этой точкой и точками касания равны.
Это свойство тоже доказывается очень просто - методом геометрического места точек.
касательная к окружности есть предельное положение секущей.
Трапеция АВСД, М - точка касания на стороне АВ, Н - точка касания на стороне ВС, К - точка касания на стороне СД, Л - точка касания на стороне АД
АМ=АЛ, ЛД=КД, КС=СН, ВН=НМ, как касательные к окружности, проведенные из одной точки
АЛ+ЛД=КД+АМ =АД
ВН+НС=СК+МВ=ВС
АД+ВС = КД+АМ + СК+МВ, но АМ+МВ=АВ, и КД+СК=СД
АД+ВС=АВ+СД
