1)Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.
Объяснение:
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.
Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD - общая сторона, AB = CD по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно угол3 = угол4.
А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.
2)Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.
Доказательство:
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.
Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам (BD - общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что угол1 = угол2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB параллельна CD, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.
3)Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой пополам.
Треугольники AOB и COD будут равны между собой, по первому признаку равенства треугольников. (AO = OC, BO = OD по условию, угол AOB = угол COD как вертикальные углы.) Следовательно, AB = CD и угол1 = угол 2. Из равенства углов 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD. Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB равны CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.
Подробнее - на -
Sтрапеции = (a+b)*h/2
т.к. трапеция равнобедренная AB=CD=12
проведем две высоты BK и CM, треугольники ABK и CMD равны (не только подобны по двум углам, но и равны) => AK=MD, угол BAK=180-120=60 (т.к. основания трапеции || ), => угол ABK = 180-90-60=30
высота трапеции AK = 1/2 * AB = 12/2 = 6 (как катет, лежащий против угла в 30 градусов)
по т.Пифагора BK^2 = 12*12 - 6*6 = (12-6)(12+6) = 6*18 = 3*2*2*9
h = BK = 2*3*корень(3) = 6*корень(3)
ВС = AD - 2*AK = 16 - 2*6 = 4
Sтрапеции = (16 + 4) * 6*корень(3)/2 = 60корень(3)
первая задача) углы BCA=ACD (AC---биссектриса)
углы BCA=CAD (как накрестлежащие при параллельных основаниях трапеции и секущей AC)
получили треугольник ACD с равными углами DAC=ACD => AD=CD=16
т.к. трапеция равнобедренная MD=(AD-BC)/2 = 12/2=6
по т.Пифагора высота = корень(16*16-6*6) = корень((16-6)(16+6)) = корень(10*22) =
корень(5*2*2*11) = 2корень(55)
Sтрапеции = (16 + 4) * 2*корень(55)/2 = 20корень(55)
