Прямі а і в паралельні. Обчисліть градусну міру кута 4, якщо кут 7
дорівнює 125 градусів​

Достроим трапецию до равнобедренного треугольника.

Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе.

Биссектриса к основанию является высотой и медианой.

Окружность касается оснований в серединах.

BL=CL, AN=DN

Отрезки касательных из одной точки равны.

BK=BL=CL=CM =a

AK=AN=DN=DM =b

По теореме о пропорциональных отрезках KM||BC||AD

△KAP~△BAC, KP/BC=AK/AB => KP/2a =b/(a+b)

△PCM~△ACD, PM/AD=CM/CD => PM/2b =a/(a+b)

KP=PM =2ab/(a+b)

LN - высота => LN⊥KM

S(KLMN) =1/2 KM*LN *sin90 =2ab/(a+b) *LN

S(ABCD) =1/2 (AD+BC)*LN =(a+b) *LN

S(ABCD)/S(KLMN) =(a+b)^2/2ab =8/3 =>

(a^2 +b^2 +2ab)/2ab =8/3 =>

a/2b +b/2a +1 =8/3 =>

a/b +b/a =2(8/3 -1) =10/3

a/b =x

x +1/x =10/3 =>

x^2 -10/3 x +1 =0 => x = {1/3; 3}

ответ: основания относятся 1:3

В квадрате АВСD точка К - середина стороны ВС, точка М - серидина стороны АВ. Докажите, что прямые АК и МД перпендикулярны, а треугольники АЕМ (Е - точка пересечения прямых АК и МД) и АВК подобны.
Треугольники СDN и АМD равны по двум сторонам и прямому углу между ними. 
Угол CND=углу АМD, угол АDМ=NCD
Сумма углов ADM и АМD равны 90 градусов. 
Рассмотрим треугольник DNO.
Угол OND=CND, 
угол АDМ=NCD. И в сумме они дают 90 градусов. 
Отсюда угол МOD = 90 градусов, т.к. сумма углов треугольника равна 180 градусов. 
Треугольники DNO и АMD подобны по трем углам, хотя для прямоугольных треугольников достаточно одного равного острого угла. 
Найдем коэффициент подобия  к=AD/OD=AM/ON=MD/ND
т.к. по условию AD=2AM и АМ=АN=ND, то к=2AM/OD=AM/ON=MD/AM
2AM/OD=AM/ON, значит  OD=2ON
Площадь Δ DNO SΔ=36=OD*ON/2=2ON*ON/2=ON². ON=6
Тогда OD=2*6=12, а ND=√ON²+OD²=√36+144=√180=6√5
Сторона квадрата равна AB=BC=CD=AD=2*6√5=12√5
Площадь квадрата Sк=(12√5)²=720
Площадь AMCD= площадь квадрата Sк - площадь S ΔСВМ
 площадь S ΔСВМ=1/2*ВС*ВМ=1/2*12√5*6√5=180
Площадь AMCD=720-180=540