Задача Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.
Добавьте пропуски в тексте решения задачи.
Заполните пропуски в тексте:
Пусть a данная прямая, а М данная точка.
Построение
Проведём окружность, пересекающую прямую а в двух точках ─ А и

.
Построим две окружности радиуса

с центрами A и

.
Они пересекутся в двух точках, одну из которых обозначим

.
Проведём прямую

.
Она является искомой прямой, проходящей через точку М перпендикулярно к прямой а.
Доказательство
В самом деле, треугольники

и ВРМ равны по

(

= ВР,

= ВМ,

─ общая сторона), поэтому ∠

= ∠ВPМ, поэтому отрезок

в равнобедренном треугольнике ABP является

, проведённой к основанию, а значит и

, т.е. прямая PM перпендикулярна прямой а.
A
B
M
P
АВ
PM
PO
MO
AP
AРM
PAB
медианой
биссектрисой
высотой
трём сторонам
стороне и прилежащим углам
двум сторонам и углу между ними
МАВ
АМ

Задача состоит в построении прямой, проходящей через данную точку М и перпендикулярной к данной прямой а.

1. Проведение окружности:
Построим окружность, которая будет пересекать прямую а в двух точках А и В. Подходящим радиусом для этой окружности будет диаметр (отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через ее центр), равный AB.

2. Построение окружностей:
С центрами в точках А и В построим две окружности радиусом, равным AM. Так как AM - это расстояние от данной точки М до прямой а, то эти окружности будут пересекаться на прямой, проходящей через М перпендикулярно к прямой а. Обозначим точку пересечения этих окружностей как P.

3. Построение прямой:
Проведем прямую PM. Эта прямая будет являться искомой прямой, проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой а.

Доказательство:
Для доказательства перпендикулярности прямой PM к прямой а, рассмотрим треугольники АПМ и ВРМ.
Треугольники АПМ и ВРМ равны по двум сторонам и углу между ними (по стороне, соединяющей точку П и М, по стороне, соединяющей точку П и Р, и по углу ВПМ). Это можно установить, используя радиус окружности AM, который соответствует сторонам треугольников.
Поэтому, по свойству равнобедренного треугольника, у нас есть равенство углов ∠АПМ и ∠ВРМ.
В то же время, ∠АРМ = ∠ВРМ, так как они соответственные углы при равных сторонах.
Отсюда следует, что углы ∠АПМ и ∠АРМ равны, что означает перпендикулярность прямой PM к прямой а.

Таким образом, прямая PM, построенная через точку М перпендикулярно к прямой а, будет искомой прямой.