Из ребер треугольника АВС отмечены точки К, L, M, P, Q и S. Если PK, QL и SM являются средними перпендикулярами стенок АВ, ВС и АС соответственно, то среднее перпендикуляр АВС линии

В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне и является биссектрисой острого угла при основании. Найти высоту трапеции , если ее площадь равна 9√3

Объяснение:

АВСМ-равнобедренная трапеция.

1)Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность. Пусть О-принадлежит АМ . Тогда ОА=ОС=ОМ как центры описанной окружности , т. к. центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы .

2)Углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при  АМ||ВС, АС-секущая⇒ΔАВС-равнобедренный и ВА=ВС. Значит и ВА=ВС=МС.

3)ΔОАВ=ΔОВС=ΔОСМ по трем  сторонам ВА=ВС=МС, остальные радиусы......Значит

-  ∠3=∠4=∠5=180°:3=60°.

-  их площади равны и S(ΔОСМ )=9√3:3=3√3.

3)В ΔОСМ  ,∠СОМ=60° и ОС=ОМ ⇒ два других угла по 60°⇒этот  треугольник равносторонний.

S( равност.тр)=(а²√3):4  .Найдем сторону  треугольника  (а²√3):4=3√3  или а²=12  , а=√12 .

Площадь можно найти иначе S( равност.тр)=1/2*а*h.

3√3=1/2*√12*h  или h=3.

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и образуют 4 равных прямоугольных треугольника(половинки диагоналей это катеты, а сторона ромба гипотенуза) , пусть a,b катеты,  с гипотенуза
Сумма катетов :


Также вспомним теорему Пифагора:
 
 

Объединим оба уравнения в систему:

Выразим из второго уравнения а (подстановка)

Подставим в первое уравнение





Это приведенное уравнение, решаем по т.Виета



Подставляем оба найденных корня в подстановку


Как мы видим ответом систем являются пары чисел (15;20) и (20;15) ,не имеет значения в каком порядке расположены числа, мы нашли половины диагоналей.


Площадь ромба можно найти по формуле: