В треугольнике ABC, AB = BC. Медианы треугольника пересекаются в точке O, OA = 5, OB = 6. Найдите площадь треугольника ABC.
============================================================
точка О - точка пересечения медиан ( см приложение )По свойству пересечения медиан в ΔАВС ВО:ОЕ = 2 : 1⇒ ОЕ = ВО/2 = 6/2 = 3 По свойству равнобедренного треугольника ВЕ⊥АС, ВЕ - медиана, высота, биссектрисаВ ΔАОЕ: по теореме ПифагораАЕ² = АО² - ОЕ² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16АЕ = 4АС = 2•АE = 2•4 = 8Значит, S abc = BE•AC/2 = 9•8/2 = 36ОТВЕТ: S abc = 36
4π
Объяснение:
Как я понял, нам нужно найти длину окружности, вписанной в четырёхугольник BMDN. Я её изобразил на рисунке, хотя этого можно было и не делать. Обозначим длину этой окружности буквой l. Её нам нужно найти.
И давайте сразу из периметра найдём сторону ромба, она нам пригодится в решении. Обозначим для удобства сторону ромба буквой а. а=30/4=7,5.
Во-первых, проведём диагональ BD, которая разделяет угол В на два равных угла. Тогда ∠DBC = arctg2. Давайте теперь найдём косинус этого угла.
Тут может возникнуть вопрос по поводу знака косинуса. Да, косинус может быть отрицательным, но взгляните на наш ромб: угол, косинус которого мы искали, является острым. А если мы посмотрим на единичную окружность, то отрицательные косинусы могут быть лишь у углов 2 и 3 четвертей, т.е. это уже не острые углы. Значит мы берём именно такое положительное значение косинуса.
Треугольник BCD является равнобедренным, поэтому воспользуемся формулой для нахождения основания равнобедренного треугольника.
Вообще я сейчас пытаюсь найти высоту ромба, и чтобы её найти
нам ещё нужно найти синус угла В. Давайте найдём его:
Теперь находим высоту ромба через синус тупого угла и меньшую диагональ:
Из прямоугольного треугольника BMD найдём катет MD по теореме Пифагора:
Давайте взглянем на треугольники BMD и NBD. Докажем их равенство. Эти треугольники будут равны, т.к. высоты ромба, проведённые из тупого угла равны, BD - общая для обоих треугольников, а диагональ ромба разделяет угол MBN пополам. Проще говоря, они равны по двум сторонам и углу между ними. Зачем нам это нужно? Это нужно для того, чтобы найти площадь и периметр четырёхугольника, в который вписана окружность. То есть, мы найдём площадь одного треугольника, умножим её на два, и получим площадь данного четырёхугольника. Также поступим и с периметром: найдём сумму катетов и умножим её на 2. Вообще для нахождения радиуса окружности нам нужен полупериметр, поэтому я периметр ещё поделю на 2. Ищем площадь и полупериметр четырёхугольника:
Теперь найдём радиус вписанной окружности по формуле:
И теперь находиv длину окружности по формуле:
