1 ) Доказать, что треугольник равнобедренный, если его вершины имеют координаты А (4;2), В (-4;4), C(-12;10).
2) Расстояние между точками А (1;-5) и В (х, 3) равно 10. Найдите х.
3) На оси кординат найдите точку равноудаленную от точек А (4;-5) и В (2;3) 4) В треугольнике АВС с вершинами А (3;-5), В (7;1), С(3;9) точки М и N- середины сторон АС и ВС соответственно. Найдите длину средней линии MN треугольника АВС.​

1) Для доказательства, что треугольник равнобедренный, нам нужно доказать, что две его стороны равны.

Для начала, найдем длины сторон треугольника АВС:

С использованием формулы расстояния между двумя точками: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) , где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек.

- Длина стороны АВ:
d(АВ) = √((-4 - 4)^2 + (4 - 2)^2) = √(8^2 + 2^2) = √(64 + 4) = √68

- Длина стороны АС:
d(АС) = √((-12 - 4)^2 + (10 - 2)^2) = √((-16)^2 + 8^2) = √(256 + 64) = √320

- Длина стороны ВС:
d(ВС) = √((-12 - (-4))^2 + (10 - 4)^2) = √((-8)^2 + 6^2) = √(64 + 36) = √100 = 10

Мы видим, что длины сторон АВ и ВС различаются от длины стороны АС. Таким образом, треугольник не является равнобедренным.

2) Для нахождения значение х, мы можем использовать теорему Пифагора.

Мы уже знаем, что расстояние между точками А и В равно 10:
d(АВ) = 10

Используя формулу расстояния между двумя точками, мы можем записать:

√((х - 1)^2 + (3 - (-5))^2) = 10

Раскроем скобки:

√((х^2 - 2х + 1) + (64)) = 10

А упростим:

√(х^2 - 2х + 65) = 10

Возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

х^2 - 2х + 65 = 100

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону:

х^2 - 2х + 65 - 100 = 0

х^2 - 2х - 35 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его, используя факторизацию или формулу квадратного корня:

(х - 7)(х + 5) = 0

Таким образом, мы получаем два возможных значения для х: х = 7 и х = -5.

3) Чтобы найти точку, равноудаленную от точек А и В на оси координат, мы должны найти среднее значение между x-координатами и среднее значение между y-координатами этих точек.

x-координаты точек А и В: 4 и 2
Среднее значение: (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3

y-координаты точек А и В: -5 и 3
Среднее значение: (-5 + 3) / 2 = -2 / 2 = -1

Таким образом, точка, равноудаленная от точек А и В, имеет координаты (3, -1).

4) Чтобы найти длину средней линии MN треугольника АВС, нам необходимо найти длины сторон АМ, МC и ВN, а затем просуммировать их и разделить на 2.

- Длина стороны АМ:
d(АМ) = √((7 - 3)^2 + (1 - (-5))^2) = √(4^2 + 6^2) = √(16 + 36) = √52

- Длина стороны МC:
d(МC) = √((3 - 3)^2 + (9 - (-5))^2) = √(0^2 + 14^2) = √(0 + 196) = √196 = 14

- Длина стороны ВN:
d(ВN) = √((7 - 2)^2 + (1 - 3))^2 = √(5^2 + (-2)^2) = √(25 + 4) = √29

Теперь мы можем найти длину средней линии MN:

L(МN) = (d(АМ) + d(МC) + d(ВN)) / 2 = (√52 + 14 + √29) / 2

Это окончательный ответ, который можно оставить в этой форме или приблизить, если необходимо.