на боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены такие точки Р и Q, что угол РМВ= углу QMC, где М - середина основания ВС. Докажите, что BQ = CP. Ради всего святого

Теорема Фалеса:
Если на одной из двух прямых отложить последовательно равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Пусть дан отрезок АВ. 
Из А проведем луч и отложим на нем 7 равных отрезков, конец последнего обозначим С.. 
Соединим С и В. 
Через концы остальных отрезков проведем параллельно СВ еще 6 прямых.
7 отрезков, на которые эти прямые разделили АВ. равны между собой.
Отделим из них 2, поставим точку М. 
АМ:МВ=2:5. 

3 см

Чертеж в приложении.

Объяснение:

1. Опустим перпендикуляр СЕ в трапеции от меньшего основания к большему. Эта высота разделит большее основание на два отрезка. По свойству равнобедренной трапеции (ЕD - меньший равен половине разности оснований, AE - больший  равен  полусумме  оснований)  больший отрезок = средней линии, тк средняя линия тоже = полусумме  оснований ;

2. рассм треуг АСЕ- прямоуг (тк СЕ перпенд АD):

тк сумма углов треуг =180, то уг АСЕ= 180-уг САЕ-уг АЕС=180-60-90=30 градусов;

тк АЕ- катет против 30 гр, то АЕ=1/2гипотенузы=1/2 *АС=1/2 * 6=3см

значит, средняя линия MN =3 см

Если что-то непонятно , пишите в комментах.